حدد إذا كانت الجمل التالية صح أم خطأ حدد مدى صحة العبارات التالية بناءً على فهمك لصور التغير الطردي المختلفة. الرسم البياني للعلاقة $\ar{y = k x^2}$ (حيث $\ar{k > 0}$) يمثل خطاً مستقيماً يمر بنقطة الأصل. شرح السؤال فكر في شكل الدالة التربيعية التي درستها في الباب السادس. هل تربيع المتغير يحافظ على استقامة الخط؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.التفسير البياني:التغير الطردي البسيط (الخطي) هو الوحيد الذي يمثله خط مستقيم. أما عندما يتناسب $\ar{y}$ مع مربع $\ar{x}$، فإن الرسم البياني يكون عبارة عن منحنى (جزء من قطع مكافئ) يمر بنقطة الأصل، لأن القيم تزداد بشكل متسارع جداً مع زيادة $\ar{x}$.💡 معلومة إضافية:كلما زاد أس المتغير $\ar{x}$ (تربيع أو تكعيب)، زاد انحناء المنحنى نحو الأعلى، مما يعكس الزيادة الكبيرة في قيمة $\ar{y}$.(الباب الخامس: التغير، الدرس 5-2: أشكال أخرى للتغير الطردي، ص 14) إذا كانت $\ar{y \propto x^3}$، فإن هذا يسمى تغيراً طردياً بين $\ar{y}$ ومكعب $\ar{x}$. شرح السؤال تذكر مسميات القوى في الرياضيات؛ ماذا نطلق على القوة الثالثة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. الشرح: الرمز $\ar{\propto}$ يعني التناسب الطردي، والمقدار $\ar{ x^3}$ يقرأ رياضياً "س تكعيب" أو "مكعب س". هذا النوع من التناسب يعني أن $\ar{y}$ يتغير بنسبة ثابتة مع مكعب القيمة الأصلية لـ $\ar{x}$. مثال من الواقع: كتلة الأجسام المصنوعة من نفس المادة تتناسب طردياً مع مكعب أبعادها. إذا ضاعفت حجم قطعة معدن ما مثلاً مرتين في كل اتجاه، ستزداد كتلتها 8 مرات! (الباب الخامس: التغير، الدرس 5-2: أشكال أخرى للتغير الطردي، ص 14)
اختر الإجابة الصحيحة اختر الإجابة الصحيحة لحل مسائل التغير التالية. إذا كانت $\ar{y \propto x^2}$ وكانت $\ar{y = 12}$ عندما $\ar{x = 2}$، فأوجد قيمة $\ar{y}$ عندما $\ar{x = 5}$. شرح السؤال المعادلة هي $\ar{y = k x^2}$. ابدأ بإيجاد الثابت $\ar{k}$ بتعويض القيم الأولى، ولا تنسَ تربيع العدد 2. $\ar{30}$ $\ar{75}$ $\ar{150}$ $\ar{60}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{75}$.خطوات الحل بالتفصيل:نكتب معادلة التغير: $\ar{y = k x^2}$.نعوض لإيجاد الثابت $\ar{k}$: $\ar{12 = k(2^2) \implies 12 = 4k \implies k = 3}$.نكتب المعادلة كاملة: $\ar{y = 3 x^2}$.بالتعويض عن $\ar{x = 5}$: $\ar{y = 3(5^2) = 3 \times 25 = 75}$.تنبيه من خطأ شائع:يتسرع بعض الطلاب بضرب 3 في 5 قبل التربيع، وهذا خطأ. ترتيب العمليات يفرض علينا التربيع أولاً ثم الضرب.(الباب الخامس: التغير، الدرس 5-2: أشكال أخرى للتغير الطردي، ص 16) إذا كانت $\ar{y \propto x^3}$ وكانت $\ar{y = 27}$ عندما $\ar{x = 3}$، فأوجد قيمة $\ar{y}$ عندما $\ar{x = 4}$. شرح السؤال استخدم العلاقة $\ar{y = k x^3}$. هل تذكر أن $\ar{3^3 = 27}$؟ هذا سيساعدك في إيجاد $\ar{k}$ بسهولة. $\ar{36}$ $\ar{48}$ $\ar{16}$ $\ar{64}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{64}$.تحليل خطوات الحل:بما أن $\ar{y = k x^3}$، نعوض بالقيم المعطاة: $\ar{27 = k(3^3) \implies 27 = 27k \implies k = 1}$.إذن المعادلة هي: $\ar{y = x^3}$.عندما $\ar{x = 4}$: $\ar{y = (4)^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64}$.تطبيق فيزيائي:هذا التناسب يظهر عند حساب كمية المادة في المجسمات المتشابهة؛ فإذا كبرت أبعاد مكعب 4 مرات، سيزداد ثقله 64 مرة!(الباب الخامس: التغير، الدرس 5-2: أشكال أخرى للتغير الطردي، ص 16)
