التمرين الأول: حساب المشتقات العليا اختر الإجابة الصحيحة في كل سؤال. إذا كانت الدالة \(\ar{y=2x^3+3x^2+5x}\)، فما مشتقتها الثانية؟ شرح السؤال اشتق الدالة أولًا لتحصل على المشتقة الأولى، ثم اشتق الناتج مرة أخرى. \(\ar{12}\) \(\ar{12x+6}\) \(\ar{0}\) \(\ar{6x^2+6x+5}\) الإجابة الصحيحة: \(\ar{12x+6}\)المشتقة الأولى هي \(\ar{y'=6x^2+6x+5}\). باشتقاقها حدًّا حدًّا نحصل على \(\ar{y''=12x+6}\): مشتقة \(\ar{2x^3}\) بعد الاشتقاق مرتين تساوي \(\ar{12x}\)، ومشتقة \(\ar{3x^2}\) بعد الاشتقاق مرتين تساوي \(\ar{6}\)، أما الحد الخطي \(\ar{5x}\) فمشتقته الثانية صفر.انتبه إلى الفرق: \(\ar{6x^2+6x+5}\) هي المشتقة الأولى، بينما \(\ar{12}\) هي المشتقة الثالثة.المرجع: الوحدة 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-1: المشتقات العليا للدالة، ص 55. إذا كانت \(\ar{f'(x)=6x^2+6x+5}\)، فأي تعبير يمثل المشتقة الثانية؟ شرح السؤال ابدأ من التعبير المعطى للمشتقة الأولى، واشتقه بالنسبة إلى س مرة واحدة. طبّق قاعدة القوة على كل حد. \(\ar{(6x^2+6x+5)^2}\) \(\ar{12}\) \(\ar{12x+6}\) \(\ar{6x^2+6x+5}\) الإجابة الصحيحة: \(\ar{12x+6}\)المعطى هو \(\ar{f'(x)=6x^2+6x+5}\). المشتقة الثانية هي مشتقة هذا التعبير: مشتقة \(\ar{6x^2}\) تساوي \(\ar{12x}\)، ومشتقة \(\ar{6x}\) تساوي \(\ar{6}\)، ومشتقة الثابت \(\ar{5}\) تساوي صفرًا؛ لذلك \(\ar{f''(x)=12x+6}\).تربيع التعبير \(\ar{(6x^2+6x+5)^2}\) ليس هو معنى الاشتقاق مرة أخرى؛ المطلوب إيجاد معدل تغير المشتقة الأولى.المرجع: الوحدة 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-1: المشتقات العليا للدالة، ص 55. ما المشتقة الثالثة للدالة \(\ar{y=2x^3+3x^2+5x}\)؟ شرح السؤال اشتق الدالة الأصلية مرة لتحصل على المشتقة الأولى، ثم اشتق الناتج مرة ثانية للحصول على المشتقة الثانية، واشتق الناتج مرة ثالثة لإيجاد المشتقة الثالثة. \(\ar{0}\) \(\ar{12x+6}\) \(\ar{6x^2+6x+5}\) \(\ar{12}\) الإجابة الصحيحة: \(\ar{12}\)بعد الاشتقاق الأول نحصل على \(\ar{y'=6x^2+6x+5}\)، وبعد الاشتقاق الثاني \(\ar{y''=12x+6}\). باشتقاق هذا التعبير مرة أخرى، تكون مشتقة \(\ar{12x}\) هي \(\ar{12}\)، ومشتقة الثابت \(\ar{6}\) صفرًا؛ إذن \(\ar{y'''=12}\).تتوقف مشتقات الحدود كثيرة الحدود عند وصولها إلى ثابت ثم صفر: فمشتقة الثابت صفر.المرجع: الوحدة 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-1: المشتقات العليا للدالة، ص 55. إذا كانت المشتقة الثانية لدالة ما هي \(\ar{f''(x)=6}\)، فما مشتقتها الثالثة؟ شرح السؤال المشتقة الثالثة هي مشتقة المشتقة الثانية. اسأل نفسك: هل يتغير مقدار ثابت عندما تتغير س؟ وما مشتقة أي مقدار ثابت؟ \(\ar{6}\) \(\ar{6x}\) \(\ar{0}\) لا يمكن تحديدها الإجابة الصحيحة: \(\ar{0}\)بما أن \(\ar{f''(x)=6}\)، فإن المشتقة الثالثة هي \(\ar{f'''(x)=\frac{d}{dx}(6)}\). والعدد 6 ثابت لا يعتمد على س، ومشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا؛ لذا \(\ar{f'''(x)=0}\).المرجع: الوحدة 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-1: المشتقات العليا للدالة، ص 55.
