الإجابة الصحيحة هي ($0.90$).

نستخدم توزيع $t$ لأن تباين المجتمع $\sigma^2$ مجهول (المعطى هو تباين العينة $s^2=36$) وحجم العينة صغير ($n=25 < 30$).

1. المعطيات:$\mu=20, s^2=36 \implies s=6, n=25$.
2. المطلوب:$P(\bar{X} < 21.5)$.
3. حساب قيمة $t$ المحسوبة (بدرجات حرية $df=24$):$$ t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{21.5 - 20}{6/\sqrt{25}} = \frac{1.5}{6/5} = \frac{1.5}{1.2} = 1.25 $$
4. إيجاد الاحتمال:
   المطلوب هو $P(t_{24} < 1.25)$.
   ملاحظة هامة:المعلومة المعطاة في السؤال $P(t_{24} < 1.25) = 0.10$ هي خاطئة منطقياً، لأن المساحة على يسار قيمة موجبة يجب أن تكون أكبر من $0.5$. المقصود غالباً هو أن المساحة على **يمين** القيمة تساوي $0.10$, أي $P(t_{24} > 1.25) = 0.10$.
   بناءً على هذا التصحيح، يمكننا حساب المطلوب: $$ P(t_{24} < 1.25) = 1 - P(t_{24} > 1.25) = 1 - 0.10 = 0.90 $$

للتفكير الناقد:

لماذا من المستحيل أن يكون $P(t < 1.25) = 0.10$? ارسم منحنى توزيع $t$ لتوضيح السبب.

(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 4-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي في حالة $\sigma$ مجهولة، صفحة 138)

الإجابة الصحيحة هي ($12.95$).

صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع $\mu$ هي: $$ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ الحد الأدنى هو: $\bar{x} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

1. المعطيات:$\bar{x}=13.5, \sigma^2=4 \Rightarrow \sigma=\sqrt{4}=2, n=36$.
2. إيجاد القيمة الجدولية $Z_{\alpha/2}$:
   • مستوى الثقة $1-\alpha = 0.90$.
   • مستوى الدلالة $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$.
   • $\alpha/2 = 0.05$.
   • المطلوب هو $Z_{0.05}$, وهي القيمة التي على يمينها مساحة قدرها $0.05$. من المعطيات، $Z_{0.05}=1.64$.
3. حساب الحد الأدنى:$$ \text{Lower Limit} = 13.5 - 1.64 \times \frac{2}{\sqrt{36}} $$ $$ = 13.5 - 1.64 \times \frac{2}{6} = 13.5 - 1.64 \times \frac{1}{3} $$ $$ = 13.5 - 0.5467 \approx 12.9533 $$ أقرب إجابة هي $12.95$. (ملاحظة: استخدام $Z_{0.05}=1.645$ يعطي $12.9517$).

(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع، صفحة 133)

الإجابة الصحيحة هي ($61$).

فترة الثقة للوسط الحسابي تكون دائماً متماثلة حول الوسط الحسابي للعينة ($\bar{X}$). هذا يعني أن $\bar{X}$ يقع تماماً في منتصف المسافة بين الحد الأدنى والحد الأعلى.

مقدار الخطأ في التقدير (نصف عرض الفترة)، والذي نرمز له بالرمز $E$, هو الفرق بين الحد الأعلى ووسط العينة.
حيث: (E = الخطأ)، (Upper Limit = الحد الأعلى). $$ E = \text{Upper Limit} - \bar{X} $$ $$ E = 67 - 64 = 3 $$ الحد الأدنى يتم حسابه بطرح نفس مقدار الخطأ من الوسط الحسابي للعينة.
حيث: (Lower Limit = الحد الأدنى). $$ \text{Lower Limit} = \bar{X} - E $$ $$ \text{Lower Limit} = 64 - 3 = 61 $$ إذن، فترة الثقة هي $(61, 67)$.

(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-5: التقدير بفترة (فترة الثقة)، صفحة 132)

الإجابة الصحيحة هي ($160.51$).

نستخدم صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي باستخدام توزيع $t$ لأن $\sigma$ مجهول وحجم العينة $n<30$.
صيغة الحد الأعلى هي: $\bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$.

1. المعطيات:$\bar{X}=133, s^2=1082.73, n=8$.
2. حساب الانحراف المعياري للعينة ($s$):$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1082.73} \approx 32.905$.
3. تحديد قيمة $t$:درجات الحرية $df = n-1 = 7$. مستوى الثقة $1-\alpha = 0.95 \implies \alpha/2 = 0.025$. القيمة الجدولية المعطاة هي $t_{0.025}(7) = 2.365$.
4. حساب الحد الأعلى:$$ \text{Upper Limit} = 133 + 2.365 \times \frac{32.905}{\sqrt{8}} $$ $$ = 133 + 2.365 \times \frac{32.905}{2.8284} $$ $$ = 133 + (2.365 \times 11.633) \approx 133 + 27.512 = 160.512 $$

(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 4-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع في حالة $\sigma$ مجهولة، صفحة 138)