الإجابة الصحيحة (صح).

صيغة تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي في حالة السحب مع الإرجاع (أو من مجتمع لا نهائي) هي: $$ \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n} $$ لدينا المعطيات: $\sigma^2_{\bar{x}} = 2.25$ و $n=4$. والمطلوب هو $\sigma^2$.

نعوض في الصيغة: $$ 2.25 = \frac{\sigma^2}{4} $$ لإيجاد $\sigma^2$، نضرب الطرفين في $4$: $$ \sigma^2 = 2.25 \times 4 = 9 $$ العبارة صحيحة.

سؤال:

ماذا لو كان السحب "بدون إرجاع" من مجتمع حجمه $N=20$؟ هل ستتغير الإجابة؟ وكيف؟

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 1-4-4: تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي (السحب مع الإرجاع)، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة هي ($4$).

من الخصائص الأساسية لتوزيعات المعاينة أن الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط الحسابي ($\mu_{\bar{x}}$) يساوي دائماً الوسط الحسابي للمجتمع الأصلي ($\mu$). $$ \mu_{\bar{x}} = \mu $$ لذلك، كل ما علينا فعله هو حساب الوسط الحسابي للمجتمع.

المجتمع هو $\{2, 3, 7\}$. $$ \mu = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$ إذن، $\mu_{\bar{x}} = 4$. لسنا بحاجة لسرد العينات أو حساب أوساطها.

للتوسع:

قم بسرد كل العينات الممكنة ($C_2^3=3$ عينات)، واحسب الوسط الحسابي لكل عينة، ثم احسب متوسط هذه الأوساط. هل ستحصل على نفس النتيجة؟

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 3-4: توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة $\bar{X}$، صفحة 124)

الإجابة الصحيحة هي ($\bar{X}$).

توزيع المعاينة للوسط الحسابي هو التوزيع الاحتمالي **للإحصاءة** $\bar{X}$.

$\bar{X}$ هو متغير عشوائي لأن قيمته تتغير من عينة إلى أخرى. توزيع المعاينة يصف كل القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها $\bar{X}$ والاحتمالات المرتبطة بها.

أما الرموز الأخرى فتمثل:

• $\mu$: **معلمة** الوسط الحسابي للمجتمع (قيمة ثابتة).
• $\sigma^2$: **معلمة** تباين المجتمع (قيمة ثابتة).
• $S^2$: **إحصاءة** تباين العينة (متغير).

للتفكير:

ما هو الاسم الذي يطلق على التوزيع الاحتمالي للإحصاءة $S^2$؟

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 3-4: توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة $\bar{X}$، صفحة 124)

الإجابة الصحيحة هي ($0.9772$).

1. المعطيات:$\mu=62, \sigma=3, n=9$.
2. المطلوب:$P(\bar{X} > 60)$.
3. حساب الخطأ المعياري ($\sigma_{\bar{x}}$):$$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1 $$
4. تحويل $\bar{X}$ إلى $Z$:$$ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{60 - 62}{1} = -2 $$ إذن المطلوب هو $P(Z > -2)$.
5. حساب الاحتمال:
   المساحة على يمين $-2$ هي مجموع المساحة من $-2$ إلى $0$ والمساحة على يمين $0$.
   $P(Z > -2) = P(-2 < Z < 0) + P(Z > 0)$.
   بسبب التماثل، $P(-2 < Z < 0) = P(0 < Z < 2) = 0.4772$.
   إذن، $P(Z > -2) = 0.4772 + 0.5 = 0.9772$.

للتفكير الناقد:

المعلومة "أوزان 100 مريض" غير ضرورية للحل. لماذا؟ ومتى كان من الممكن أن تكون هذه المعلومة مهمة؟ (تلميح: فكر في معامل التصحيح).

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 1-5-4: توزيع المعاينة للوسط الحسابي، صفحة 120)