1- $\bar{X}$ سيكون له توزيع معاينة يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط معاينة $\mu_{\bar{x}}$ ، وتباين معاينة $\sigma_{\bar{x}}^2$ فإن $Z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$ شرح السؤال 💡 الدرجة المعيارية: تذكر قانون تحويل أي متغير يتبع التوزيع الطبيعي إلى متغير طبيعي معياري $Z$. هل الصيغة المكتوبة تعبر عن (المتغير ناقص وسطه) مقسوماً على انحرافه المعياري؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: عندما يتوزع الوسط الحسابي للعينة $\bar{X}$ توزيعاً طبيعياً بمتوسط $\mu_{\bar{x}}$ وتباين $\sigma_{\bar{x}}^2$، يمكننا تحويله إلى التوزيع الطبيعي المعياري $Z$ لتسهيل حساب الاحتمالات. الصيغة القياسية لذلك هي طرح متوسط التوزيع من قيمة المتغير، ثم القسمة على الانحراف المعياري (الخطأ المعياري) للتوزيع.⚙️ الصيغة الرياضية:$$Z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$$وهي تتطابق تماماً مع الصيغة المذكورة في السؤال.(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، صفحة 129)
2- إذا كان $N = 5$ ، $n = 2$ وفي حالة السحب مع عدم الإرجاع فإن معامل التصحيح يساوي $0.25$ شرح السؤال 💡 حساب معامل التصحيح: طبق قانون التصحيح $\frac{N-n}{N-1}$ للتحقق من القيمة المذكورة في السؤال. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):نستخدم "معامل تصحيح المجتمعات المحدودة" عندما نقوم بالسحب "بدون إرجاع" من مجتمع صغير نسبياً. على سبيل المثال، إذا كان هناك مصنع ينتج $5$ آلات مخصصة فقط ($N=5$)، وقمنا باختبار آلتين منها ($n=2$)، فإن سحبنا يمثل $40\%$ من إجمالي المجتمع. هذا السحب يقلل من حجم المجتمع بشكل كبير ويؤثر بقوة على احتمالات سحب الآلات المتبقية، لذا يجب تصحيح التباين إجبارياً.🧠 المفهوم الإحصائي:عند السحب (بدون إرجاع) من مجتمع محدود الحجم $N$، وكان حجم العينة $n$ يمثل أكثر من $5\%$ من حجم المجتمع، يجب ضرب تباين المعاينة في "معامل التصحيح للمجتمعات المحدودة".⚙️ خطوات الحل:1. صيغة معامل التصحيح للتباين هي:$$fpc = \frac{N - n}{N - 1}$$2. بالتعويض بالقيم المعطاة ($N=5, n=2$):$$fpc = \frac{5 - 2}{5 - 1} = \frac{3}{4} = 0.75$$الناتج هو $0.75$ وليس $0.25$ كما ورد في السؤال. لذلك العبارة خاطئة.(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، صفحة 128)
3- إذا كانت أطوال ($1000$) طالب تتوزع توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي قدره $163.5$ سم وتباين قدره ($25$). إذا اخترنا منهم مع عدم الإرجاع عينة عشوائية تشمل $64$ طالباً فإن احتمال أن يكون الوسط الحسابي لهذه العينة أقل من $162$ سم يساوي: (علماً بأن $P(0 \le z \le 2.48)=0.4934$) شرح السؤال بما أن المجتمع طبيعي، فتوزيع المعاينة طبيعي. احسب الخطأ المعياري (انتبه للسحب بدون إرجاع وحجم المجتمع)، ثم حوّل قيمة وسط العينة $\bar{X}=162$ إلى الدرجة المعيارية $Z$. أخيراً، أوجد المساحة المطلوبة. $0.0026$ $0.4934$ $0.4974$ $0.0066$ الإجابة الصحيحة هي ($0.0066$).المعطيات:$\mu=163.5, \sigma^2=25 \implies \sigma=5, n=64, N=1000$.المطلوب:$P(\bar{X} < 162)$.الخطأ المعياري:بما أن نسبة العينة للمجتمع $\frac{n}{N} = \frac{64}{1000} = 0.064 > 0.05$, فمن الأدق استخدام معامل التصحيح.$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \frac{5}{8}\sqrt{\frac{1000-64}{999}} = 0.625 \times 0.968 \approx 0.605$.تحويل $\bar{X}$ إلى $Z$:$$ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{162 - 163.5}{0.605} = \frac{-1.5}{0.605} \approx -2.48 $$ إذن المطلوب هو $P(Z < -2.48)$.حساب الاحتمال:باستخدام خاصية التماثل، $P(Z < -2.48) = P(Z > 2.48)$.$P(Z > 2.48) = P(Z \ge 0) - P(0 \le Z \le 2.48)$$= 0.5 - 0.4934 = 0.0066$.للمناقشة:في هذا السؤال، كان استخدام معامل التصحيح ضرورياً للوصول إلى قيمة $Z$ التي تتوافق مع القيمة الجدولية المعطاة. ماذا لو أهملنا معامل التصحيح؟ كم كانت ستكون قيمة $Z$ المحسوبة؟(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، المجتمع يتوزع توزيعاً طبيعياً بتباين $\sigma^2$ معلوم، صفحة 129)
4- إذا كانت أطوال $1000$ طالب تتوزع توزيعاً طبيعياً بمتوسط قدره $165$ سم وتباين قدره $25$ سم فإذا اخترنا مع الإرجاع عينة عشوائية تشمل $64$ طالباً ، فإن احتمال أن يزيد متوسط أطوال هذه العينة عن $164$ سم هو ........ حيث $P(0 \leq Z \leq 1.6) = 0.4452$ شرح السؤال 💡 خطوة بخطوة: انتبه! السحب هنا (مع الإرجاع)، هل نستخدم معامل التصحيح؟ احسب الخطأ المعياري، ثم حول $164$ إلى الدرجة المعيارية $Z$. بعد ذلك استنتج المساحة المطلوبة. $0.9452$ $0.0548$ $0.8904$ $0.5548$ الإجابة الصحيحة هي ($0.9452$).🧠 المفهوم الإحصائي: في توزيعات المعاينة، عندما يتم السحب "مع الإرجاع"، لا نستخدم معامل تصحيح المجتمعات المحدودة (fpc) بغض النظر عن حجم المجتمع. الخطأ المعياري يُحسب كالمعتاد: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.⚙️ خطوات الحل:1. استخراج المعطيات:المتوسط $\mu = 165$التباين $\sigma^2 = 25 \implies \sigma = 5$حجم العينة $n = 64$2. حساب الخطأ المعياري:$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{5}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8} = 0.625$$3. حساب القيمة المعيارية $Z$:المطلوب $P(\bar{X} > 164)$. نحول $164$ إلى $Z$:$$Z = \frac{164 - 165}{0.625} = \frac{-1}{0.625} = -1.6$$إذن المطلوب هو $P(Z > -1.6)$.4. حساب الاحتمال:المساحة من $-1.6$ إلى اليمين تتكون من: (المساحة من $-1.6$ إلى $0$) + (النصف الأيمن كاملاً $0.5$).$$P(Z > -1.6) = P(0 \leq Z \leq 1.6) + 0.5 = 0.4452 + 0.5 = 0.9452$$(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، صفحة 129)
