1- التباين لتوزيع ذات الحدين هو $\mu q$. شرح السؤال تذكر صيغة كل من التباين ($\sigma^2$) والوسط الحسابي ($\mu$) لتوزيع ذات الحدين. هل يمكنك التعويض بإحدى الصيغتين في الأخرى للوصول إلى الصيغة المذكورة في السؤال؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه العبارة تقدم طريقة أخرى صحيحة لكتابة صيغة تباين توزيع ذات الحدين.نعلم أن صيغة التباين هي: $\sigma^2 = npq$.ونعلم أن صيغة الوسط الحسابي هي: $\mu = np$.إذا قمنا بالتعويض عن ($np$) في صيغة التباين بقيمتها ($\mu$), فإن الصيغة تصبح: $$ \sigma^2 = \mu q $$ وهي نفس الصيغة المذكورة في السؤال، لذلك فالعبارة صحيحة.مفهوم:هذا يوضح العلاقة المباشرة بين مقاييس النزعة المركزية (المتوسط) ومقاييس التشتت (التباين) في توزيع ذات الحدين. يمكن دائماً الحصول على التباين بضرب المتوسط في احتمال الفشل.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
2- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع ذي الحدين، فإن تباين هذا التوزيع يساوي $np$. شرح السؤال توزيع ذي الحدين له معلمتان أساسيتان هما الوسط الحسابي والتباين. ما هي الصيغة الرياضية لكل منهما؟ قارن بين صيغة التباين وصيغة الوسط الحسابي. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ). إذا كان المتغير العشوائي $X$ يتبع توزيع ذات الحدين بالمعلمتين $n$ (عدد المحاولات) و $p$ (احتمال النجاح)، فإن: الوسط الحسابي (القيمة المتوقعة):$\mu = np$ التباين:$\sigma^2 = npq$ أو $\sigma^2 = np(1-p)$ العبارة المذكورة في السؤال ($\text{التباين} = np$) تصف الوسط الحسابي وليس التباين. التباين الصحيح يجب أن يتضمن أيضاً احتمال الفشل $q$. ملاحظة هامة: بما أن $q = (1-p)$ وقيمة $p$ بين $0$ و $1$، فإن قيمة $q$ أيضاً بين $0$ و $1$. هذا يعني أن التباين ($npq$) هو دائماً أصغر من الوسط الحسابي ($np$) في توزيع ذات الحدين (طالما $q<1$). (الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
3- إذا كان المتغير العشوائي ($X$) يتبع توزيع بواسون بوسط حسابي ($2$) فإن التباين يساوي ($4$). شرح السؤال توزيع بواسون يتميز بخاصية فريدة تربط بين وسطه الحسابي وتباينه. ما هي هذه الخاصية؟ إذا عرفت الوسط، فماذا يجب أن يكون التباين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ). من أهم خصائص توزيع بواسون أن وسطه الحسابي (قيمته المتوقعة) يساوي تباينه. وكلاهما يساوي المعلمة $\lambda$. الوسط الحسابي: $\mu = \lambda$ التباين: $\sigma^2 = \lambda$ في السؤال، تم إعطاء أن الوسط الحسابي يساوي $2$، وهذا يعني أن $\mu = \lambda = 2$. بناءً على خاصية توزيع بواسون، يجب أن يكون التباين مساوياً للوسط الحسابي. إذن، التباين الصحيح هو $\sigma^2 = 2$. العبارة تقول أن التباين يساوي $4$، وهذا غير صحيح. للمقارنة: في توزيع ذات الحدين، هل الوسط الحسابي يساوي التباين؟ تذكر أن $\mu = np$ و $\sigma^2 = npq$. كيف تختلف العلاقة بين الوسط والتباين في توزيع بواسون عن توزيع ذات الحدين؟ (الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
4- إذا كان المتغير العشوائي ($X$) يتبع توزيع بواسون بوسط حسابي ($1$) فإن تباينه يساوي ($0$). شرح السؤال ما هي الخاصية المميزة لتوزيع بواسون التي تربط بين وسطه الحسابي وتباينه؟ إذا عرفت هذه الخاصية، ستعرف الإجابة فوراً. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).من أهم خصائص توزيع بواسون أن وسطه الحسابي (قيمته المتوقعة) يساوي تباينه تماماً. وكلاهما يساوي المعلمة $\lambda$. $$ \mu = \sigma^2 = \lambda $$ في السؤال، تم إعطاء أن الوسط الحسابي يساوي $1$، وهذا يعني أن $\lambda = 1$.بناءً على خاصية توزيع بواسون، يجب أن يكون التباين مساوياً للوسط الحسابي.إذن، التباين الصحيح هو $\sigma^2 = 1$.العبارة تقول أن التباين يساوي $0$، وهذا غير صحيح.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
