1- التباين: هو الوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي $X$ مرجحة باحتمالاتها. شرح السؤال اقرأ التعريف جيداً. هذا التعريف يصف مقياساً من مقاييس النزعة المركزية. هل التباين مقياس للنزعة المركزية أم للتشتت؟ ما هو المقياس الذي يصفه هذا التعريف؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).التعريف المذكور "الوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي $X$ مرجحة باحتمالاتها" هو تعريفالمتوسط الحسابي ($\mu$)أوالقيمة المتوقعة ($E(X)$)للمتغير العشوائي.أماالتباين ($\sigma^2$)، فهو مقياس للتشتت ويُعرّف بأنه "متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".مفهوم:الوسط الحسابي يخبرنا عن "مركز" التوزيع، بينما التباين يخبرنا عن مدى "انتشار" أو "تشتت" القيم حول هذا المركز.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 1-3-2: الوسط الحسابي، صفحة 75)
2- الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي هو القيمة المتوقعة. شرح السؤال اقرأ التعريف ببطء. "الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي" هو تعريف لمقياس تشتت معين. ثم أخذ "الجذر التربيعي الموجب" له يعطينا مقياس تشتت آخر. هل هذا هو تعريف "القيمة المتوقعة"؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة تخلط بين تعريفين مختلفين:التباين ($\sigma^2$):هو "الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".الانحراف المعياري ($\sigma$):هو "الجذر التربيعي الموجب للتباين". أي هو "الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".لذلك، العبارة المذكورة في السؤال هي التعريف الدقيقللانحراف المعياري.أماالقيمة المتوقعة ($E(X)$)، فهي مصطلح آخر للوسط الحسابي ($\mu$) للمتغير العشوائي.لتصحيح العبارة:العبارة الصحيحة هي: "الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي هوالانحراف المعياري".(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 4-3-2: الانحراف المعياري، صفحة 82)
3- إذا كان X متغيراً عشوائياً له التوزيع الاحتمالي: $X$ $0$ $1$ $2$ $f(x)$ $0.2$ $0.5$ $0.3$ فإن القيمة المتوقعة تساوي $1.1$. شرح السؤال "القيمة المتوقعة" هي تسمية أخرى للمتوسط الحسابي. استخدم صيغة حساب المتوسط الحسابي لتوزيع احتمالي متقطع، $\mu = \sum [x \cdot f(x)]$, وتحقق من الناتج. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).القيمة المتوقعة ($E(X)$) هي نفسها المتوسط الحسابي ($\mu$) للمتغير العشوائي. نحسبها بضرب كل قيمة للمتغير في احتمالها ثم نجمع النواتج. $$ \mu = E(X) = \sum x \cdot f(x) $$ من الجدول المعطى: $$ \mu = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (2 \times 0.3) $$ $$ \mu = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 $$ القيمة المحسوبة ($1.1$) تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال، لذا فالعبارة صحيحة.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-3-2: القيمة المتوقعة، صفحة 79)
4- إذا كان متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي ($2.25$) فإن الانحراف المعياري لهذه القيم يساوي $1.5$. شرح السؤال العبارة "متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي" هي تعريف لمقياس إحصائي معين. ما هو هذا المقياس؟ وما علاقته بالانحراف المعياري؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).التعريف المذكور في السؤال هو التعريف الحرفي **للتباين ($\sigma^2$)**.إذن، معطيات السؤال هي: $\sigma^2 = 2.25$.المطلوب هو حساب **الانحراف المعياري ($\sigma$)**، وهو الجذر التربيعي الموجب للتباين. $$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{2.25} = 1.5 $$ النتيجة المحسوبة تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال.للتفكير:لماذا نأخذ الجذر التربيعي الموجب فقط؟ هل يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالباً؟(الفصل الثاني - المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-3: وصف التوزيعات الاحتمالية، الفقرة 4-3-2: الانحراف المعياري)
