1- إذا كان $P(B) = 0.75$ و $P(A \cap B) = 0.3$ فإن $P(A/B) = 0.4$ شرح السؤال هذا السؤال يتعلق بالاحتمال الشرطي. هل تتذكر الصيغة الرياضية لحساب احتمال وقوع الحدث $A$ بشرط وقوع الحدث $B$؟ قم بكتابة القانون وعوّض بالقيم المعطاة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).يُعرّف الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث $A$ بمعرفة أن الحدث $B$ قد وقع بالفعل بالصيغة التالية: $$ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ حيث:$P(A \cap B)$ هو احتمال وقوع الحدثين $A$ و $B$ معاً.$P(B)$ هو احتمال وقوع الحدث $B$.بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال: $$ P(A/B) = \frac{0.3}{0.75} = 0.4 $$ النتيجة المحسوبة ($0.4$) تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال، لذا فإن العبارة صحيحة.للمقارنة:كيف يختلف حساب $P(A/B)$ عن حساب $P(B/A)$؟ وماذا لو كان الحدثان $A$ و $B$ مستقلين، كيف سيؤثر ذلك على قيمة $P(A/B)$؟(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، 1-9: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
2- إذا كان $P(A/B) = P(B/A)$ فإن $A, B$ حدثين متنافيين. شرح السؤال ⚙️ فكك القانونين: الاحتمال الشرطي يعتمد على التقاطع مقسوماً على الاحتمال الأصلي. متى يتساوى الكسران؟ عندما يتساوى المقامان. هل هذا يعني أن الحدثين متنافيين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي:دعنا نحلل العبارة رياضياً لنجد سبب خطئها. قانونا الاحتمال الشرطي هما:$$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$$$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$إذا تساوى الطرفان ($P(A/B) = P(B/A)$)، والتقاطع لا يساوي صفراً، فهذا يقتضي رياضياً أن المقامين متساويان، أي أن: $P(A) = P(B)$.هذا التساوي يعني أن الحدثين لهما نفس فرصة الحدوث، ولكنه لا يعني أبداً أنهما "متنافيين". الأحداث المتنافية تعني أن تقاطعهما صفر ($P(A \cap B) = 0$).(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 9-1: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
3- إذا كان $A, B$ حدثين مستقلين من فراغ العينة وكان $P(B|A)=0.2$ فإن $P(B)$ يساوي: شرح السؤال ما هو تعريف استقلال حدثين؟ كيف يؤثر وقوع الحدث $A$ على احتمال وقوع الحدث $B$ إذا كانا مستقلين؟ صفراً $0.5$ $0.2$ $1$ الإجابة الصحيحة هي ($0.2$).التعريف الأساسي للأحداث المستقلة هو أن وقوع أحدها لا يؤثر إطلاقاً على احتمال وقوع الآخر.رياضياً، هذا يعني: $$ P(B|A) = P(B) $$ بما أن السؤال أعطانا أن $P(B|A) = 0.2$ وأن الحدثين مستقلان، فإننا نستنتج مباشرة أن: $$ P(B) = 0.2 $$سؤال:باستخدام نفس المعطيات، هل يمكنك تحديد قيمة $P(A)$؟ لماذا؟(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 9-1: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
4- إذا كان $A, B$ حدثين معرفين على نفس فراغ العينة وكان $A, B$ حدثين مستقلين و $P(A)=0.2$ و $P(B)=0.5$ فإن $P(A|B)$ يساوي: شرح السؤال ما هو تعريف استقلال حدثين؟ كيف يؤثر وقوع الحدث $B$ على احتمال وقوع الحدث $A$ إذا كانا مستقلين؟ $0.5$ $0.2$ $0.4$ $0.7$ الإجابة الصحيحة هي ($0.2$).التعريف الأساسي للأحداث المستقلة هو أن وقوع أحدها لا يؤثر إطلاقاً على احتمال وقوع الآخر.رياضياً، هذا يعني: $$ P(A|B) = P(A) $$ بما أن السؤال أعطانا أن $P(A) = 0.2$ وأن الحدثين مستقلان، فإننا نستنتج مباشرة أن: $$ P(A|B) = 0.2 $$ المعلومة $P(B)=0.5$ غير ضرورية للحل، وهي موجودة للتضليل.سؤال:باستخدام نفس المعطيات، احسب $P(A \cap B)$.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 9-1: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
