1- عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن احتمال ظهور الوجه الذي عليه رقم ($2$) أو الوجه الذي عليه رقم ($3$) يساوي $\frac{1}{3}$. شرح السؤال كلمة "أو" في الاحتمالات ترشدك إلى استخدام قانون معين. ما هو هذا القانون؟ وهل الحدثان (ظهور $2$ وظهور $3$) متنافيان أم غير متنافيين؟ احسب احتمال كل حدث على حدة ثم طبق القانون المناسب. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذا السؤال يطبق قانون جمع الاحتمالات لحدثين متنافيين.فراغ العينة:عند إلقاء زهرة نرد، $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.احتمال الحدث الأول:ليكن $A$ هو حدث ظهور الرقم $2$. فإن $P(A) = \frac{1}{6}$.احتمال الحدث الثاني:ليكن $B$ هو حدث ظهور الرقم $3$. فإن $P(B) = \frac{1}{6}$.نوع الحدثين:الحدثان $A$ و $B$ متنافيان، لأنه من المستحيل أن يظهر الرقم $2$ والرقم $3$ في نفس الرمية. هذا يعني أن $P(A \cap B) = 0$.تطبيق قانون الجمع:احتمال ظهور $A$ أو $B$ هو: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ النتيجة تتطابق مع ما ورد في السؤال.تدريب:ما هو احتمال ظهور عدد زوجي أو عدد أكبر من $4$ عند إلقاء النرد مرة واحدة؟ هل هذان الحدثان متنافيان؟(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، 1-8: قانون جمع الاحتمالات، 2-8-2 قانون الجمع لحدثين متنافيين، صفحة 35)
2- إذا كان لدينا حدثان معرفان على فراغ العينة $S$ وكان $P(A \cup B) = 0.9$ ، $P(B) = 0.4$ ، $P(A) = 0.5$ فإن $A$ ، $B$ حدثين غير متنافيين شرح السؤال 💡 اختبار التنافي: الحدثان المتنافيان لا يقعان معاً (تقاطعهما صفر). اجمع $P(A)$ و $P(B)$ وقارن النتيجة باحتمال الاتحاد $P(A \cup B)$. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):الأحداث المتنافية تعني استحالة وقوعها في نفس اللحظة. في الواقع الصناعي مثلاً، من المستحيل أن تُصنف وحدة إنتاجية على أنها "تالفة تماماً" و "ممتازة وخالية من العيوب" في نفس الوقت، ولذلك يكون احتمال تقاطعهما (حدوثهما معاً) هو صفر.🧠 المفهوم الإحصائي:إذا كان الحدثان $A$ و $B$ متنافيين، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتماليهما، لأن احتمال تقاطعهما يساوي صفراً. قانون الجمع هو: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$⚙️ خطوات الحل:1. نجمع $P(A)$ و $P(B)$: $$0.5 + 0.4 = 0.9$$2. نقارن الناتج مع $P(A \cup B)$ المعطى في السؤال: نجد أنهما متساويان ($0.9 = 0.9$).3. بما أن $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$، فهذا يثبت أن الحدثين متنافيان.العبارة في السؤال تدعي أنهما "غير متنافيين"، لذلك العبارة خاطئة.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 8-1: قانون جمع الاحتمالات، صفحة 35)
3- إذا كان $A , B$ حدثين متنافيين وكان $P(A) = 0.60$ ، $P(B) = 0.72$ فإن احتمال وقوعهما معاً يساوي $0.43$ شرح السؤال 💡 كلمة السر متنافيان: ماذا يعني أن يكون الحدثان "متنافيين"؟ هل يمكن أن يقعا معاً في نفس الوقت؟ بناءً على ذلك، ماذا يجب أن يكون احتمال تقاطعهما؟ (الأرقام في السؤال للتضليل فقط). صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 الحل بالحدس والاستبعاد: بمجرد قراءة كلمة "حدثين متنافيين"، يجب أن تعلم فوراً أن الحدثين مستحيلي الوقوع معاً. وبالتالي، احتمال وقوعهما معاً (أي احتمال التقاطع) يجب أن يساوي صفراً ($0$). أي رقم آخر غير الصفر يجعل العبارة خاطئة فوراً.💡 إضاءة إضافية: الأرقام المعطاة في السؤال ($0.60$ و $0.72$) تحتوي على خطأ إحصائي فادح آخر، فمجموع احتماليهما أكبر من $1$ ($1.32$)، وهذا مستحيل لأي أحداث تقع في نفس التجربة!(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: الأحداث المتنافية، صفحة 14)
4- إذا كان $A, B$ حدثين متنافيين فإن $P(A \cap B) = \phi$ شرح السؤال ⚠️ فخ الرموز: الأحداث المتنافية لا تتقاطع (تقاطعها هو $\phi$). ولكن السؤال يسأل عن "الاحتمال" $P$. هل الاحتمال يمكن أن يكون رمز مجموعة أم يجب أن يكون رقماً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: الحدثان المتنافيان لا يمكن وقوعهما في نفس اللحظة. رياضياً، التقاطع بينهما كمجموعات يعطي المجموعة الخالية: $A \cap B = \phi$ولكن احتمال هذا التقاطع يجب أن يعبر عنه بقيمة رقمية، أي: $P(A \cap B) = 0$.⚠️ انتبه (Trick): وضع رمز المجموعة الخالية $\phi$ كإجابة للاحتمال $P$ هو خطأ رياضي وخلط بين الجبر ونظرية الاحتمالات.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: الأحداث المتنافية، صفحة 14)
