1- إذا كان لدينا التوزيع الاحتمالي المتقطع التالي: $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $f(x)$ $0.2$ $0.3$ $0.4$ $C$ فإن قيمة $C=0.4$ شرح السؤال تذكر الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه أي توزيع احتمالي متقطع. ما هو مجموع كل الاحتمالات ($\sum f(x)$)؟ استخدم هذا الشرط لحساب القيمة الصحيحة لـ $C$ وقارنها بالقيمة المعطاة في السؤال. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).لكي يكون الجدول توزيعاً احتمالياً صحيحاً، يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات يساوي الواحد الصحيح. $$ \sum f(x) = 1 $$ بالتطبيق على الجدول: $$ 0.2 + 0.3 + 0.4 + C = 1 $$ $$ 0.9 + C = 1 $$ $$ C = 1 - 0.9 = 0.1 $$ القيمة الصحيحة لـ $C$ هي $0.1$، بينما السؤال يدعي أنها $0.4$. لذا، العبارة خاطئة. للتوسع: بعد إيجاد القيمة الصحيحة لـ $C$, قم بحساب المتوسط الحسابي ($E(X)$) لهذا التوزيع.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، التوزيع الاحتمالي المتقطع (المنفصل)، صفحة 62)
2- المساحة الكلية المحصورة بين منحني دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات تساوي صفراً. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن تحققه أي دالة كثافة احتمالية؟ كم يجب أن تكون المساحة الكلية تحت المنحنى؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة الصحيحة هي أن المساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات تساوي **الواحد الصحيح ($1$)**.هذا الشرط يضمن أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$. القيمة صفر تمثل احتمال الحدث المستحيل.مفهوم:لماذا يجب أن تكون المساحة الكلية تساوي $1$؟ فكر في علاقة ذلك بمسلمات الاحتمال الأساسية.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 66)
3- المساحة المحصورة بين منحنى أية دالة كثافة احتمال والمحور الأفقي $= 0.5$. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن تحققه أي دالة كثافة احتمالية؟ كم يجب أن تكون المساحة الكلية تحت المنحنى؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة الصحيحة هي أن المساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال والمحور الأفقي تساويالواحد الصحيح ($1$).هذا الشرط يضمن أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$.القيمة $0.5$ تمثل مساحة نصف المنحنى في التوزيعات المتماثلة (مثل التوزيع الطبيعي)، ولكنها ليست المساحة الكلية.سؤال:هل كل دوال كثافة الاحتمال متماثلة؟ هل هناك توزيعات تكون فيها المساحة على يمين نقطة معينة لا تساوي المساحة على يسارها؟(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 67)
4- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر قيمة معينة (a) يساوي صفراً. شرح السؤال في التوزيعات المستمرة، الاحتمال يمثل مساحة تحت المنحنى. ما هي مساحة خط مستقيم عند نقطة واحدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه خاصية أساسية للمتغيرات العشوائية المستمرة. بما أن الاحتمال في التوزيع المستمر يُعرّف بأنه المساحة تحت منحنى دالة الكثافة فوق فترة معينة، فإن المساحة عند نقطة واحدة محددة (التي يمكن اعتبارها فترة عرضها صفر) تكون دائماً صفراً.لهذا السبب، في المتغيرات المستمرة: $$ P(X=a) = 0 $$ وهذا يؤدي إلى نتيجة هامة: $$ P(c \le X \le d) = P(c < X \le d) = P(c \le X < d) = P(c < X < d) $$ لأن إضافة نقطتي النهاية (اللتين احتمالهما صفر) لا يغير من المساحة الكلية.للمقارنة:هل هذه الخاصية تنطبق على المتغيرات العشوائية المتقطعة؟ وضح إجابتك بمثال.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 68)
