1- إذا كان $\ar{\int_{a}^{b} (2x) \,dx = 35}$، $\ar{a + b = 5}$ فإن قيمة $\ar{ab = \dots\dots}$ شرح السؤال أجرِ عملية التكامل المحدود أولاً. سيمنحك هذا معادلة تتضمن $\ar{(b^2 - a^2)}$. استخدم الفرق بين مربعين والمعادلة المعطاة $\ar{(a+b=5)}$ لحل المعادلتين وإيجاد قيم $\ar{a}$ و $\ar{b}$. $\ar{-6}$ $\ar{5}$ $\ar{-4}$ $\ar{4}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{-6}$)حساب التكامل المحدود:$\ar{\int_{a}^{b} (2x) \,dx = \left[ x^2 \right]_{a}^{b} = b^2 - a^2}$.تكوين المعادلة الأولى:$\ar{b^2 - a^2 = 35}$.استخدام الفرق بين مربعين:$\ar{(b - a)(b + a) = 35}$.استخدام المعادلة المعطاة الثانية: لدينا $\ar{a + b = 5}$، إذن $\ar{b + a = 5}$.$\ar{(b - a)(5) = 35 \implies b - a = 7}$.حل نظام المعادلتين:لدينا: (1) $\ar{b + a = 5}$ و (2) $\ar{b - a = 7}$.بجمع المعادلتين: $\ar{2b = 12 \implies b = 6}$.بالتعويض في المعادلة الأولى: $\ar{6 + a = 5 \implies a = -1}$.حساب المطلوب: $\ar{ab = (-1)(6) = -6}$.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، (التكامل المحدود)، صفحة 106)
2- إذا كانت $\ar{d(x)}$ قابلة للتكامل على $\ar{\mathbb{R}}$ وكان $\ar{\int_{1}^{2} d(x) \,dx = -4}$، و $\ar{\int_{1}^{5} d(x) \,dx = 6}$ فإن $\ar{\int_{2}^{5} d(x) \,dx = \dots\dots}$ شرح السؤال تذكر خاصية تجزئة التكامل المحدود: التكامل من (a) إلى (c) يساوي التكامل من (a) إلى (b) زائد التكامل من (b) إلى (c). كيف يمكنك استخدام هذه الخاصية لإيجاد التكامل المطلوب؟ -2 2 -10 10 الإجابة الصحيحة (10)نستخدم خاصية تجزئة التكامل المحدود التي تنص على:$\ar{\int_{a}^{c} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx}$بتطبيق هذا على السؤال، حيث $\ar{a=1}$, $\ar{b=2}$, $\ar{c=5}$:$\ar{\int_{1}^{5} d(x) \,dx = \int_{1}^{2} d(x) \,dx + \int_{2}^{5} d(x) \,dx}$نعوض بالقيم المعطاة:$\ar{6 = (-4) + \int_{2}^{5} d(x) \,dx}$نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد التكامل المطلوب:$\ar{\int_{2}^{5} d(x) \,dx = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10}$(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، خصائص التكامل المحدود)
3- إذا كان $\ar{\int_{7}^{4} f(x) dx = -6}$ فإن قيمة $\ar{\int_{4}^{7} \left[ 3f(x) - 8 \right] dx =}$ --------- شرح السؤال 🔍 تأمل معي: حدود التكامل؛ ماذا يحدث لقيمة التكامل المحدود عندما تنقلب حدوده (من الأصغر للأكبر بدلاً من العكس)؟ وزع التكامل ثم عوض. $\ar{5}$ $\ar{3}$ $\ar{-6}$ $\ar{6}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{-6}$المفهوم: من خواص التكامل المحدود أن قلب حدود التكامل يغير إشارة الناتج النهائي. كما أن التكامل يتوزع خطياً على الجمع والطرح.خطوات الحل:المعطى: $\ar{\int_{7}^{4} f(x) dx = -6}$. بقلب الحدود تصبح $\ar{\int_{4}^{7} f(x) dx = 6}$.نوزع التكامل المطلوب: $\ar{3 \int_{4}^{7} f(x) dx - \int_{4}^{7} 8 dx}$.نعوض بالقيمة المستنتجة في الحد الأول: $\ar{3 \times 6 = 18}$.نحسب تكامل الثابت في الحد الثاني: $\ar{\left[ 8x \right]_4^7 = 8(7 - 4) = 8(3) = 24}$.نطرح الحدين: $\ar{18 - 24 = -6}$.🧠 الحل بالاستبعاد: تكامل الثابت $\ar{8}$ عبر مسافة $3$ وحدات يولد الرقم الكبير $\ar{24}$ بالسالب. والحد المضروب في $\ar{3}$ يعطي $\ar{18}$ بالموجب. غلبة الإشارة السالبة للثابت الكبير $\ar{24}$ تجعل المحصلة النهائية سالبة حتماً. هذا التوقع السليم يستبعد كل الخيارات الموجبة كـ $5$ و $6$ و $3$ دون تردد.💡 إضاءة (وسع إدراكك): توزع التكاملات بهذا الشكل هو حجر الزاوية في حل المعادلات التفاضلية للدوائر الكهربائية التي تحوي مقاومات ومكثفات متتالية.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 4-3: خواص التكامل المحدود، ص 102)
4- إذا كان $\ar{\int_{0}^{2} f(x) \,dx = 4}$ ، $\ar{\int_{2}^{4} f(x) \,dx = 5}$ فإن $\ar{\int_{0}^{4} f(x) \,dx =}$ ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: خاصية الإضافة في التكامل؛ تخيل أنك تقطع مسافة من المدينة A إلى B ثم من B إلى C. أليست المسافة الكلية هي مجموع المسافتين؟ $\ar{4}$ $\ar{1}$ $\ar{5}$ $\ar{9}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{9}$✨ التوضيح: من خواص التكامل المحدود الهندسية أنه يمكن تجزئة فترة التكامل عبر نقطة وسطية. القاعدة تنص على: $\ar{\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx}$.خطوات الحل:التكامل المطلوب هو المساحة الكلية من $0$ إلى $4$.بناءً على القاعدة المذكورة، يمكننا دمج فترتي التكامل الجزئيتين لتطابقهما عند النقطة المفصلية $2$.المساحة الكلية = $\ar{\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx}$.نعوض بالقيم العددية الجاهزة في المعطيات: $\ar{4 + 5 = 9}$.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-3: خواص التكامل المحدود، ص 102)
