1- قيمة $\ar{\int (3x + 1)^{-1} dx = \dots \dots}$ شرح السؤال حول الأس السالب إلى كسر لتلاحظ أن البسط هو مقدار ثابت مضروباً في مشتقة المقام. تذكر تكامل الدوال التي تنتج لوغاريتمات. $\ar{\frac{1}{3} \log(3x + 1) + c}$ $\ar{\frac{1}{3} \log(x + 1)^2 + c}$ $\ar{\frac{1}{3} \log(x + 1) + c}$ $\ar{\log(3x + 1) + c}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{3} \log(3x + 1) + c}$ المفهوم: تكامل الدالة من الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$ ينتج الدالة اللوغاريتمية الطبيعية $\ar{\log}$ مقسومة على مشتقة ما بداخل القوس. خطوات الحل: المقدار $\ar{(3x+1)^{-1}}$ يُكتب كـ $\ar{\frac{1}{3x+1}}$. لتكامله، نحتاج أن يكون البسط هو مشتقة المقام (أي $\ar{3}$). نضرب في $\ar{3}$ بالداخل ونقسم خارج التكامل على $\ar{3}$. الناتج: $\ar{\frac{1}{3} \int \frac{3}{3x+1} dx = \frac{1}{3} \log|3x+1| + c}$. الحل بالاستبعاد: التكامل يجب أن ينتج لوغاريتم، لذا أي خيار لا يحوي $\ar{\log}$ (إن وُجد) يُستبعد. الخيار الذي يحوي تربيعاً $\ar{\log(x+1)^2}$ لا يمت للقاعدة بصلة، والخيار الذي لا يقسم على مشتقة الزاوية $\ar{\log(3x+1)}$ خاطئ. يتبقى الخيار الأول. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): الأس $\ar{-1}$ هو الحالة الوحيدة المستثناة من قاعدة قوى التكامل التي نزيد فيها الأس ونقسم عليه، ولها دالتها الخاصة وهي اللوغاريتم الطبيعي. (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 4-7: تكامل الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$، ص 163)
2- قيمة التكامل التالي: $\ar{\int_{e}^{e^3} \frac{1}{x} dx = \dots\dots}$ حيث $\ar{x > 0}$ شرح السؤال تذكر أن تكامل مقلوب المتغير $\ar{x}$ يعطي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ، وما عليك إلا التعويض بالحد الأعلى للتكامل ناقص الحد الأدنى. $\ar{2}$ $\ar{3}$ $\ar{1}$ $\ar{e}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$ التوضيح: عند تكامل الدالة مقلوب السين $\ar{\frac{1}{x}}$ فإن الناتج هو الدالة اللوغاريتمية الطبيعية للمقام وهي $\ar{\log|x|}$. وبتطبيق قواعد التكامل المحدد في الفترة المعطاة، نقوم بالتعويض بقيمة الحد الأعلى للتكامل ناقص قيمة الحد الأدنى له. التعويض بالحد الأعلى يمنحنا $\ar{\log(e^3) = 3}$، والتعويض بالحد الأدنى يمنحنا $\ar{\log(e) = 1}$، وعند طرح القيمتين يكون الناتج النهائي هو $\ar{3 - 1 = 2}$. 🧠 الحل بالاستبعاد: الأس في الحد الأعلى هو $\ar{3}$ والأس في الحد الأدنى هو $\ar{1}$. بما أن اللوغاريتم الطبيعي يختزل الأساس $\ar{e}$، فإن العملية تتحول ذهنياً وببساطة إلى طرح الأسس مباشرة $\ar{3 - 1}$، وبالتالي فإن الإجابة المنطقية والوحيدة الممكنة دون الغرق في حسابات مطولة هي $\ar{2}$، مما يجعلنا نستبعد فوراً الخيارات الأخرى مثل $\ar{1}$ أو $\ar{3}$ أو الثابت الطبيعي $\ar{e}$. 💡 إضاءة: هل تعلم أن هذه المساحة الرياضية المحصورة تحت المنحنى تُستخدم بشكل كبير في الحياة العملية عند حساب كمية الشغل المبذول أثناء تمدد الغازات في محركات السيارات (العمليات الإيزوثيرمية)؟ فالطبيعة تتحرك هندسياً وفق هذه المنحنيات اللوغاريتمية البديعة! (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 4-7: تكامل الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$، ص 163)
3- $\ar{\int \frac{3}{5\left(2x + 1\right)} dx = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 فكر معي: التبسيط قبل التكامل! ماذا لو قمت بفك المقام بضرب الرقم 5 داخل القوس أولاً؟ كيف سيصبح شكل الدالة لتطبيق قاعدة اللوغاريتم بشكل أسرع ومباشر؟ $\ar{\frac{6}{5} \ln\left(2x + 1\right) + c}$ $\ar{\frac{6x}{5} \ln\left(2x + 1\right) + c}$ $\ar{\frac{3}{5} \ln\left(2x + 1\right) + c}$ $\ar{\frac{3}{10} \ln\left(10x + 5\right) + c}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{3}{10} \ln\left(10x + 5\right) + c}$المفهوم: تكامل الدالة الكسرية التي بسطها ثابت ومقامها دالة خطية يُنتج اللوغاريتم الطبيعي للمقام مضروباً في مقلوب معامل $\ar{x}$. القاعدة المباشرة: $\ar{\int \frac{k}{ax+b} dx = k \times \frac{1}{a} \ln|ax+b| + c}$.خطوات الحل:نوزع الثابت 5 بالضرب داخل القوس في المقام لتبسيط الدالة: $\ar{\int \frac{3}{10x + 5} dx}$.نسحب الثابت $\ar{3}$ من البسط خارج التكامل لتتضح الرؤية: $\ar{3 \int \frac{1}{10x + 5} dx}$.نُكامل بقسمة الدالة على مشتقة المقام (وهي الرقم $\ar{10}$): $\ar{3 \times \frac{1}{10} \ln\left(10x + 5\right) + c}$.بضرب الثوابت نصل للناتج المباشر المطابق للخيار الرابع: $\ar{\frac{3}{10} \ln\left(10x + 5\right) + c}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بضرب الـ $5$ في القوس يصبح المعامل المضروب في $\ar{x}$ هو $\ar{10}$. عند المكاملة، سنقسم حتماً على هذا المعامل ($\ar{10}$). إذن المقام الخارجي للكسر المضروب في اللوغاريتم يجب أن يكون $\ar{10}$ والزاوية الداخلية هي $\ar{10x+5}$. هذا الفهم السريع يلغي الخيارات الثلاثة الأولى التي تمتلك إما مقاماً خارجياً خاطئاً كـ $\ar{5}$، أو زاوية داخلية خاطئة كـ $\ar{2x+1}$، ليتبقى الخيار الرابع كإجابة وحيدة صحيحة.💡 إضاءة (ربط العلم بالواقع): المرونة في تحويل الثوابت ودمجها هي ما يجعل المعادلات التفاضلية أدوات قوية قادرة على وصف ظواهر فيزيائية متعددة بنفس القالب الرياضي، كقانون نيوتن للتبريد الحراري.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-4: تكامل الدوال الكسرية، ص 163)
4- $\ar{\int_{1}^{2} \frac{2}{3(2x - 1)} dx = \frac{1}{3} \ln(\sqrt{3})}$ شرح السؤال 🔍 تلميح: اسحب الثابت $\ar{\frac{1}{3}}$ خارج التكامل، ولاحظ أن البسط المتبقي يمثل المشتقة الدقيقة للمقام. ماذا ينتج من تكامل هذه الصورة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ📌 التوضيح: تكامل الدالة الكسرية التي بسطها عبارة عن مشتقة صريحة لمقامها يعطي اللوغاريتم الطبيعي للمقام مضروباً في الثوابت المتبقية: $\ar{\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C}$.خطوات الحل:نسحب الثابت $\ar{\frac{1}{3}}$ لتتضح الرؤية: $\ar{\frac{1}{3} \int_{1}^{2} \frac{2}{2x - 1} dx}$.البسط ($2$) هو مشتقة المقام ($\ar{2x-1}$). إذن ناتج التكامل هو $\ar{\frac{1}{3} [\ln|2x - 1|]_1^2}$.نعوض بالحد الأعلى $2$: $\ar{\frac{1}{3} \ln(2(2) - 1) = \frac{1}{3} \ln(3)}$.نعوض بالحد الأدنى $1$: $\ar{\frac{1}{3} \ln(2(1) - 1) = \frac{1}{3} \ln(1) = 0}$.ناتج الطرح النهائي هو $\ar{\frac{1}{3} \ln(3)}$.العبارة تزعم أن الناتج هو $\ar{\frac{1}{3} \ln(\sqrt{3})}$ وهذا ادعاء خاطئ لأن $\ar{\frac{1}{3} \ln(\sqrt{3}) = \frac{1}{6} \ln(3)}$.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-4: تكامل الصورة$\ar{\int(ax+b)^{-1} dx}$ ، ص 163)
