1- حل المعادلة $\ar{3 \tan a - \cot a = 2}$ حيث $\ar{0^\circ \leq a \leq 180^\circ}$ هو $\ar{\dots\dots}$ شرح السؤال كيف يمكنك تحويل هذه المعادلة التي تحتوي على دالتين مثلثيتين مختلفتين (ظا، ظتا) إلى معادلة تحتوي على دالة واحدة فقط؟ تذكر العلاقة بينهما. $\ar{45^\circ}$ ، $\ar{161.6^\circ}$ $\ar{30^\circ}$ ، $\ar{135^\circ}$ $\ar{75.5^\circ}$ ، $\ar{166.5^\circ}$ $\ar{225^\circ}$ ، $\ar{165.6^\circ}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{45^\circ}$ ، $\ar{161.6^\circ}$)لحل هذه المعادلة، نحولها إلى معادلة تربيعية بدلالة $\ar{\tan a}$.استخدام المتطابقة: نعلم أن $\ar{\cot a = \frac{1}{\tan a}}$. بالتعويض في المعادلة:$\ar{3 \tan a - \frac{1}{\tan a} = 2}$التخلص من المقام: نضرب طرفي المعادلة في $\ar{\tan a}$.$\ar{3 \tan^2 a - 1 = 2 \tan a}$حل المعادلة التربيعية: نرتب المعادلة لتصبح صفرية.$\ar{3 \tan^2 a - 2 \tan a - 1 = 0}$بالتحليل: $\ar{(3 \tan a + 1)(\tan a - 1) = 0}$إيجاد الحلول:إما $\ar{\tan a = 1}$، وهذا يعطي $\ar{a = 45^\circ}$ (وهي في النطاق المطلوب).أو $\ar{\tan a = -\frac{1}{3}}$. لأن قيمة الظل سالبة، تقع الزاوية في الربع الثاني. الزاوية المرجعية هي $\ar{\tan^{-1}(\frac{1}{3}) \approx 18.4^\circ}$. إذن، $\ar{a = 180^\circ - 18.4^\circ \approx 161.6^\circ}$.إذن الحلان في الفترة المعطاة هما $\ar{45^\circ}$ و $\ar{161.6^\circ}$.(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)
2- قيم $\ar{x}$ التي تحقق المعادلة $\ar{\frac{1}{2} \sin x = \sin 2x}$ حيث $\ar{0^\circ \leq x \leq 180^\circ}$ هي ......... شرح السؤال استخدم متطابقة ضعف الزاوية لفك $\ar{\sin 2x}$، ثم اسحب $\ar{\sin x}$ كعامل مشترك ولا تقسم عليه لكي لا تفقد أحد الحلول. $\ar{25^\circ, 120^\circ, 135^\circ}$ $\ar{0^\circ, 135^\circ, 180^\circ}$ $\ar{0^\circ, 75.0^\circ, 120^\circ}$ $\ar{0^\circ, 75.5^\circ, 180^\circ}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{0^\circ, 75.5^\circ, 180^\circ}$المفهوم: حل المعادلات المثلثية بتوحيد الزوايا عبر متطابقة ضعف الزاوية $\ar{\sin 2x = 2\sin x \cos x}$.2. خطوات الحل التفصيلية:نعوض بمتطابقة ضعف الزاوية في المعادلة لتصبح: $\ar{\frac{1}{2} \sin x = 2 \sin x \cos x}$.ننقل الحدود لأحد الأطراف لتصفير المعادلة: $\ar{2 \sin x \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 0}$.نأخذ $\ar{\sin x}$ كعامل مشترك لتجنب خسارة الحلول: $\ar{\sin x (2\cos x - 0.5) = 0}$.أما: $\ar{\sin x = 0}$ ومنها الزوايا التي تقع في الفترة المعطاة هي $\ar{x = 0^\circ}$ و $\ar{x = 180^\circ}$.أو: $\ar{2\cos x - 0.5 = 0 \leftarrow \cos x = 0.25}$ وبحساب الدالة العكسية نجد أن $\ar{x \approx 75.5^\circ}$.نجمع الحلول المقبولة معاً لتكون مجموعة الحل النهائية هي: $\ar{0^\circ, 75.5^\circ, 180^\circ}$.الحل بالاستبعاد: نعلم أن الجيب (sin) يساوي صفراً عند الزوايا $\ar{0^\circ}$ و $\ar{180^\circ}$، مما يحقق طرفي المعادلة (أصفار). لذا أي مجموعة حلول لا تتضمن هاتين الزاويتين تُستبعد فوراً.💡 إضاءة (اعرف أكثر): القسمة الجبرية على متغير يحتوي على مجهول مثل $\ar{\sin x}$ تُعد خطأً فادحاً يؤدي إلى حذف الحلول التي تُعدم هذا المقدار (أي الحلول التي تجعله صفراً). فعندما تقسم على $\ar{\sin x}$، أنت تفترض ضمناً أنه لا يساوي صفراً، بينما في الواقع $\ar{\sin x = 0}$ يمثل نصف الحلول الصحيحة للمسألة (الزوايا $\ar{0^\circ}$ و$\ar{180^\circ}$). لذلك، الإجراء السليم دائماً هو نقل الحدود إلى طرف واحد، تصفير المعادلة، ثم أخذ العامل المشترك لضمان الحفاظ على جميع جذور المعادلة دون أي فقدان.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس : تمرين 2-ب، ص 50)
3- إذا كانت $\ar{\sqrt{3} \cos\left(\theta\right) + 3 \sin\left(\theta\right) = r \sin\left(\theta + \alpha\right)}$ فإن $\ar{\alpha =}$ ....... شرح السؤال 🎯 ماذا يطلب منا السؤال: المطابقة هي المفتاح؛ فك الطرف الأيسر باستخدام متطابقة جيب المجموع، ثم ساوِ المعاملات المضروبة في $\ar{\sin}$ و $\ar{\cos}$ في الطرفين. $\ar{30^\circ}$ $\ar{90^\circ}$ $\ar{60^\circ}$ $\ar{120^\circ}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{30^\circ}$📌 التوضيح: لتحويل المقدار $\ar{a \cos\left(\theta\right) + b \sin\left(\theta\right)}$ إلى الصورة الموجية المدمجة $\ar{r \sin\left(\theta + \alpha\right)}$، نستخدم متطابقة جيب مجموع زاويتين لفك المقدار ومطابقة المعاملات واستنتاج الزاوية.خطوات الحل:نفك الطرف الأيسر باستخدام المتطابقة: $\ar{r \sin\left(\theta + \alpha\right) = r \sin\left(\theta\right) \cos\left(\alpha\right) + r \cos\left(\theta\right) \sin\left(\alpha\right)}$.نرتب حدود الطرف الأيمن للمطابقة: $\ar{3 \sin\left(\theta\right) + \sqrt{3} \cos\left(\theta\right)}$.بمساواة معاملات $\ar{\cos\left(\theta\right)}$ نجد: $\ar{r \sin\left(\alpha\right) = \sqrt{3}}$.بمساواة معاملات $\ar{\sin\left(\theta\right)}$ نجد: $\ar{r \cos\left(\alpha\right) = 3}$.بقسمة المعادلة الأولى على الثانية لإيجاد الظل: $\ar{\tan\left(\alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}}$.الزاوية الحادة القياسية التي ظلها يساوي $\ar{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ هي الزاوية $\ar{30^\circ}$.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-4: حل المعادلة المثلثية..، ص 50)
