1- إذا كان $\ar{\log y = 2x}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 4y}$. شرح السؤال هذه دالة لوغاريتمية. يمكنك الاشتقاق ضمنياً مرتين، أو يمكنك أولاً تحويلها إلى دالة أسية بجعل $\ar{y}$ المتغير التابع. أي الطريقتين أسهل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)الطريقة الأسهل هي تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية أولاً.بما أن $\ar{\log y = 2x}$ (حيث "لو" تعني اللوغاريتم الطبيعي للأساس هـ)، فإن هذا يكافئ:$\ar{y = e^{2x}}$الآن نشتق هذه الدالة الأسية مرتين:المشتقة الأولى: $\ar{\frac{dy}{dx} = 2 e^{2x}}$المشتقة الثانية: $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \times (2 e^{2x}) = 4 e^{2x}}$وبما أن $\ar{y = e^{2x}}$، يمكننا التعويض في نتيجة المشتقة الثانية:$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 4y}$العبارة صحيحة.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)
2- إذا كان $\ar{y = e^x + e^{-x}}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0}$. شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى، ثم المشتقة الثانية. بعد ذلك، قارن بين المشتقة الثانية والدالة الأصلية. ماذا تلاحظ؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لنقم باشتقاق الدالة مرتين:الدالة الأصلية: $\ar{y = e^x + e^{-x}}$المشتقة الأولى: $\ar{\frac{dy}{dx} = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}}$المشتقة الثانية: $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}}$نلاحظ أن المشتقة الثانية ($\ar{e^x + e^{-x}}$) هي نفسها الدالة الأصلية ($\ar{y}$).إذن، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = y}$.بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0}$، وهي نفس العبارة المذكورة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)
3- إذا كان $\ar{f(x) = e^x \times \tan x}$ فإن $\ar{f'(0) = 1}$. شرح السؤال هذه دالة مكونة من حاصل ضرب دالتين ($\ar{e^x}$ و $\ar{\tan x}$). استخدم قاعدة الضرب في التفاضل لإيجاد المشتقة، ثم عوض بـ $\ar{x = 0}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، نستخدم قاعدة الضرب:$\ar{(\transt{}{مشتقة الأول} \times \transt{}{الثاني}) + (\transt{}{الأول} \times \transt{}{مشتقة الثاني})}$.تحديد الدالتين ومشتقاتهما:الدالة الأولى: $\ar{e^x}$، مشتقتها: $\ar{e^x}$.الدالة الثانية: $\ar{\tan x}$، مشتقتها: $\ar{\sec^2 x}$.تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد $\ar{f'(x)}$:$\ar{f'(x) = (e^x \times \tan x) + (e^x \times \sec^2 x)}$.التعويض بـ $\ar{x = 0}$:$\ar{f'(0) = (e^0 \times \tan 0) + (e^0 \times \sec^2 0)}$نعلم أن: $\ar{e^0 = 1}$، $\ar{\tan 0 = 0}$، و $\ar{\sec 0 = 1}$.$\ar{f'(0) = (1 \times 0) + (1 \times 1^2)}$$\ar{= 0 + 1 = 1}$.الناتج هو 1، وهو ما يتوافق تماماً مع العبارة المذكورة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)
4- إذا كان $\ar{y = n e^{-kx}}$ حيث $\ar{n}$ ، $\ar{k}$ ثابتين، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} + ky}$ تساوي شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى للدالة ($\ar{\frac{dy}{dx}}$). بعد ذلك، أضف إليها المقدار ($\ar{ky}$) ولاحظ كيف تختصر الحدود. صفر واحد $\ar{nk e^{-kx}}$ $\ar{e^{-kx}}$ الإجابة الصحيحة (صفر)إيجاد المشتقة ($\ar{\frac{dy}{dx}}$):بما أن $\ar{n}$ و $\ar{k}$ ثوابت، فإننا نشتق بالنسبة لـ $\ar{x}$.$\ar{\frac{dy}{dx} = n(e^{-kx} \times (-k)) = -nk e^{-kx}}$.حساب المقدار المطلوب:$\ar{\frac{dy}{dx} + ky = (-nk e^{-kx}) + k(n e^{-kx})}$التبسيط:$\ar{= -nk e^{-kx} + nk e^{-kx} = 0}$.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)
