1- صُمم وعاء بحيث تكون العلاقة بين ضغط السائل وارتفاعه تُعطى بالعلاقة : $\ar{P = 5x^2(3 - x)}$ فإذا كان $\ar{P}$ ضغط السائل ، $\ar{x}$ ارتفاع السائل في الوعاء فإن ارتفاع السائل بحيث يعطي أكبر ضغط ممكن هو : .......... وحدة طول. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: عبارة "أكبر ضغط ممكن"؛ ألا تعني هندسياً البحث عن النقطة المحلية العظمى للدالة؟ فك القوس واشتق الدالة ثم ساوِ الناتج بالصفر. $\ar{2}$ $\ar{0}$ $\ar{30}$ $\ar{20}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$المفهوم: للوصول لأكبر قيمة ممكنة (نهاية عظمى)، يجب إيجاد المشتقة الأولى للدالة ومساواتها بالصفر لمعرفة النقاط الحرجة، ثم اختبارها لتأكيد الذروة.خطوات الحل:نفك قوس دالة الضغط لتسهيل الاشتقاق: $\ar{P = 15x^2 - 5x^3}$.نشتق الدالة بالنسبة للارتفاع $\ar{x}$: $\ar{P' = 30x - 15x^2}$.نضع المشتقة تساوي صفراً: $\ar{30x - 15x^2 = 0}$.بأخذ العامل المشترك: $\ar{15x(2 - x) = 0}$. إذن إما $\ar{x = 0}$ أو $\ar{x = 2}$.عند $\ar{x=0}$ الضغط ينعدم (نقطة صغرى). وعند $\ar{x=2}$ يبلغ الضغط أقصاه (نقطة عظمى).🧠 الحل بالاستبعاد: الصفر يعبر عن قاع الوعاء حيث لا يوجد سائل ليولد ضغطاً، فيُستبعد. الأرقام الكبيرة كـ $30$ و $20$ ستجعل القوس $\ar{(3 - x)}$ سالباً مما يولد ضغطاً سالباً مستحيلاً فيزيائياً. الرقم $2$ هو الوحيد الذي يعطي قيمة إيجابية وذروة منطقية.💡 إضاءة (تطبيق عملي): هذا المبدأ الرياضي هو ما يستخدمه مهندسو السدود المائية لتحديد الارتفاع الحرج والآمن لملء الخزانات قبل انهيار الجدران تحت تأثير الضغط الأقصى.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-5: مسائل على القيم العظمى والصغرى، ص 89)
