1- $\ar{\int e^{(1 - \frac{x}{2})} \,dx = -\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال لتكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$، ما هي القاعدة الصحيحة؟ تذكر أنك تقسم على معامل $\ar{x}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية هي:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$في هذا السؤال، $\ar{a = -\frac{1}{2}}$.إذن، التكامل الصحيح هو:$\ar{\frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث} = -2 e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{-\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
2- $\ar{\int e^{(\frac{1}{2}x + 1)} \,dx = \frac{1}{2} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال تذكر قاعدة تكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$. ما هو المعامل الذي يجب أن يظهر أمام الدالة بعد التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية الطبيعية هي:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$بتطبيق هذه القاعدة على السؤال، نجد أن $\ar{a = \frac{1}{2}}$.إذن، التكامل الصحيح هو:$\ar{\frac{1}{\frac{1}{2}} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث} = 2 e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{1}{2} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$، وهو ما يخالف القاعدة. المعامل الصحيح هو 2 وليس $\ar{\frac{1}{2}}$.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
3- $\ar{\int_{0}^{1} e^{(2x - 1)} \,dx = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})}$ شرح السؤال أولاً، أوجد التكامل غير المحدود للدالة الأسية $\ar{e^{ax+b}}$. ثم قم بالتعويض بحدود التكامل (العلوي ثم السفلي) وطرح الناتجين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحل هذا التكامل المحدود، نتبع الخطوات التالية:إيجاد التكامل غير المحدود: القاعدة هي $\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + C}$.بتطبيقها هنا، نجد أن: $\ar{\int e^{(2x - 1)} \,dx = \frac{1}{2} e^{(2x - 1)}}$.حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):$\ar{\left[ \frac{1}{2} e^{(2x - 1)} \right]_{0}^{1}}$= $\ar{\left( \frac{1}{2} e^{(2(1) - 1)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{(2(0) - 1)} \right)}$= $\ar{\frac{1}{2} e^1 - \frac{1}{2} e^{-1}}$= $\ar{\frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})}$النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية هـ^س، صفحة 169)
4- $\ar{\int a e^{(ax + b)} \,dx}$ تساوي شرح السؤال أخرج الثابت $\ar{a}$ خارج التكامل أولاً، ثم طبّق قاعدة تكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$. $\ar{\frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{a e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{\frac{-a}{b} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$)إخراج الثابت خارج التكامل:$\ar{a \int e^{(ax + b)} \,dx}$تطبيق قاعدة تكامل الدالة الأسية:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$حاصل الضرب النهائي:$\ar{a \left( \frac{1}{a} e^{(ax + b)} \right) + \transt{}{ث} = e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$تُختصر $\ar{a}$ من البسط مع $\ar{a}$ من المقام، ويبقى الناتج هو الدالة الأسية الأصلية زائد ثابت التكامل.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
