1- $\ar{\frac{d}{dx} (\cos 2x) = \cos^2 x - \sin^2 x}$ شرح السؤال الطرف الأيمن هو مشتقة، والطرف الأيسر هو متطابقة مثلثية. هل هما متساويان؟ ابدأ باشتقاق الطرف الأيمن، وتذكر متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لنحلل طرفي المعادلة بشكل منفصل:الطرف الأيمن (الاشتقاق):باستخدام قاعدة السلسلة، مشتقة $\ar{\cos(2x)}$ هي:$\ar{\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -\sin(2x) \times 2 = -2 \sin 2x}$.الطرف الأيسر (المتطابقة):الصيغة $\ar{\cos^2 x - \sin^2 x}$ هي إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهي تساوي $\ar{\cos 2x}$.بالمقارنة، نجد أن:الطرف الأيمن = $\ar{-2 \sin 2x}$الطرف الأيسر = $\ar{\cos 2x}$بما أن $\ar{-2 \sin 2x \neq \cos 2x}$، فإن العبارة خاطئة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة جتا س، صفحة 144. والفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف الزوايا، صفحة 43)
2- إذا كان $\ar{y = \cos x}$ فإن قيمة $\ar{(y')^2 - y y'' = 1}$. شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى ($\ar{y'}$) والمشتقة الثانية ($\ar{y''}$) للدالة، ثم عوض بهما في المقدار المطلوب. ما هي أشهر متطابقة مثلثية ستصادفك في النهاية؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نحسب المشتقات المطلوبة أولاً:الدالة: $\ar{y = \cos x}$المشتقة الأولى: $\ar{y' = -\sin x}$المشتقة الثانية: $\ar{y'' = -\cos x}$الآن نعوض بهذه المشتقات في المقدار المعطى في السؤال:$\ar{(y')^2 - y y'' = (-\sin x)^2 - (\cos x)(-\cos x)}$$\ar{= \sin^2 x - (-\cos^2 x)}$$\ar{= \sin^2 x + \cos^2 x}$باستخدام متطابقة فيثاغورس الأساسية، نعلم أن $\ar{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$.إذن، قيمة المقدار تساوي 1، وهو ما يتطابق مع السؤال.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة دالة جيب التمام، صفحة 144)
3- $\ar{\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \sin x} \right) = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه مشتقة خارج قسمة دالتين. طبّق قاعدة القسمة: (المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام) / (مربع المقام). ستحتاج بعد ذلك إلى استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية للتبسيط. $\ar{\frac{\sin x - \cos x}{(1 - \sin x)^2}}$ $\ar{\frac{1}{1 - \sin x}}$ $\ar{\frac{\cos x - \sin x}{(1 - \sin x)^2}}$ $\ar{\frac{\sin x + \cos x}{1 - \sin x}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{1 - \sin x}}$)نطبق قاعدة القسمة $\ar{(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}}$:$\ar{u = \cos x \implies u' = -\sin x}$$\ar{v = 1 - \sin x \implies v' = -\cos x}$التطبيق:المشتقة $\ar{= \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}}$تبسيط البسط:$\ar{= \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}}$نستخدم المتطابقة الأساسية $\ar{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$:$\ar{= \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}}$الاختصار النهائي:$\ar{= \frac{1}{1 - \sin x}}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، مشتقات الدوال، صفحة 146)
