الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد القيم العظمى والصغرى لمقدار على الصورة $\ar{a \cos \theta + b \sin \theta}$، نحوله إلى الصورة $\ar{r \cos(\theta - \alpha)}$ حيث $\ar{r = \sqrt{a^2 + b^2}}$.

في هذه الحالة، $\ar{a = 5}$ و $\ar{b = -12}$.

$\ar{r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13}$

إذن، يمكن كتابة المقدار على صورة $\ar{13 \cos(\theta - \alpha)}$.

بما أن دالة جيب التمام تتراوح قيمتها بين $\ar{-1}$ و $\ar{1}$، فإن:

• القيمة العظمى للمقدار هي $\ar{13 \times (1) = 13}$.
• القيمة الصغرى للمقدار هي $\ar{13 \times (-1) = -13}$.

السؤال يدعي أن القيمة الصغرى هي $\ar{13}$، وهذا غير صحيح. القيمة الصغرى هي $\ar{-13}$.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 3-2: المقدار أ جتا θ ± ب جا θ، صفحة 44)

الإجابة الصحيحة ($\ar{67.38^\circ}$)

لإيجاد القيمة العظمى، نحول المقدار إلى الصورة $\ar{r \cos(\theta - \alpha)}$.

1. حساب ر (السعة): $\ar{r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13}$.
2. حساب $\ar{\alpha}$ (زاوية الإزاحة): $\ar{\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{12}{5} = 2.4}$. إذن، $\ar{\alpha = \tan^{-1}(2.4) \approx 67.38^\circ}$.
3. الصيغة المحولة: يصبح المقدار $\ar{13 \cos(\theta - 67.38^\circ)}$.

تصل هذه الدالة إلى قيمتها العظمى (13) عندما يكون $\ar{\cos(\theta - 67.38^\circ) = 1}$.
وهذا يحدث عندما تكون الزاوية داخل جيب التمام تساوي صفراً.
$\ar{\theta - 67.38^\circ = 0 \implies \theta = 67.38^\circ}$.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 3-2: المقدار أ جتا θ ± ب جا θ، صفحة 44)

الإجابة الصحيحة: صح​

المفهوم: القيمة العظمى والصغرى للمقدار $\ar{a \sin \theta + b \cos \theta}$ هي دائماً $\ar{\pm \sqrt{a^2 + b^2}}$.​

خطوات الحل:

• مفكوك المقدار: $\ar{\sin \theta \cos 60^\circ - \cos \theta \sin 60^\circ + \sin \theta}$.
• بالتعويض عن النسب الشهيرة: $\ar{\frac{1}{2}\sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta + \sin \theta}$.
• بجمع الحدود المتشابهة: $\ar{\frac{3}{2}\sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta}$.
• لحساب السعة $\ar{R = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}}$.
• إذن العظمى $\ar{\sqrt{3}}$ والصغرى $\ar{-\sqrt{3}}$.​

أخطاء شائعة: محاولة إيجاد القيمة العظمى دون تحويل المقدار إلى الصيغة القياسية أو إهمال جمع الحدود المتشابهة بشكل صحيح.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): تحويل المقادير المثلثية إلى صيغة موجة جيبية واحدة يسهل جداً إيجاد القيم المتطرفة وحل المعادلات، حيث $\ar{R}$ يمثل سعة الدالة الموجية.​

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 3-2: المقدار أجتا هـ + ب جاهـ، ص 44)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{13}$

🎯 التوضيح: المقدار $\ar{a \cos \theta + b \sin \theta}$ يمكن تحويله للصيغة $\ar{R \cos(\theta - \alpha)}$ حيث يمثل $\ar{R}$ القيمة العظمى . وتُحسب رياضياً بفيثاغورس: $\ar{R = \sqrt{a^2 + b^2}}$.

خطوات الحل:

• المعامل الأول $\ar{a = 5}$، والمعامل الثاني $\ar{b = 12}$.
• نطبق القاعدة الذهبية للمقدار الأقصى: $\ar{R = \sqrt{5^2 + 12^2}}$.
• نحسب المربعات: $\ar{R = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}}$.
• جذر $169$ هو الرقم $13$. إذن القيمة العظمى هي $13$.

💡 إضاءة (تطبيق عملي): هذه التحويلات المدمجة تُستخدم على نطاق واسع في تحليل دوائر التيار المتردد (AC) لاحتساب أقصى جهد مستحث يمر في المولدات الكهربائية.

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-3: المقدار أ جتا + ب جا، ص 44)