الإجابة الصحيحة (صح)

مقدار المتجه (أو معياره) هو تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس. إذا كان لدينا متجه $\ar{\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}}$، فإن مقداره $\ar{|\vec{v}|}$ يُحسب بالعلاقة: $\ar{|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$.

بتطبيق هذا على المتجه المعطى:

• $\ar{|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
• $\ar{|\vec{v}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5}$

النتيجة التي توصلنا إليها (5 وحدات) مطابقة تمامًا للقيمة المعطاة في السؤال، لذا فالعبارة صحيحة.

(الفصل الثامن: المتجهات، 4-8: مقدار المتجه، صفحة 189)

الإجابة الصحيحة (صح)

لنتحقق من صحة العبارة خطوة بخطوة:

1. إيجاد المتجه $\ar{\vec{b}}$:
   من معادلة الجمع المعطاة: $\ar{\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$.
   يمكننا ترتيبها لإيجاد $\ar{\vec{b}}$:
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \vec{a}}$.
2. التعويض بقيمة $\ar{\vec{a}}$:
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ -1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}}$.
3. حساب مقدار المتجه $\ar{\vec{b}}$:
   نستخدم قانون المقدار $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$.
   $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2}}$
   $\ar{= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}}$.

الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{\sqrt{10}}$) يطابق القيمة المذكورة في السؤال، إذن العبارة صحيحة.

(الفصل الثامن: المتجهات، 4-8: مقدار المتجه، صفحة 188)