الإجابة الصحيحة (صح)

هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي) $\ar{e}$. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.

هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي $\ar{2.718}$. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)

الإجابة الصحيحة: $\ar{‎e^{-1}}$​

المفهوم: القاعدة الأساسية لتكوين الثابت الأسي (العدد النيبيري $\ar{e}$) تنص على أن $\ar{\lim \limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k}$. للوصول لهذه الصيغة، نتلاعب جبرياً بالكسر.​

خطوات الحل:

• الدالة هي $\ar{\left(\frac{x}{x+1}\right)^x}$. بقسمة البسط والمقام على المتغير $\ar{x}$، نحصل على: $\ar{\left(\frac{1}{1 + 1/x}\right)^x}$.
• يمكن كتابتها رياضياً بصيغة مغايرة برفع المقام للأس السالب: $\ar{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x}}$.
• وبإخراج الإشارة السالبة خارج قوس النهاية: $\ar{\left[ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \right]^{-1}}$.
• نعوض بالنهاية الداخلية التي تؤول تماماً لتعريف الثابت الأسي $\ar{e}$.
• بإسقاط الأس السالب الخارجي عليه، نجد أن النتيجة النهائية هي $\ar{‎e^{-1}}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بملاحظة أن قيمة الكسر الأساسي $\ar{\frac{x}{x+1}}$ هي دائماً أقل بقليل من الواحد الصحيح، فإن رفعها لأس لانهائي موجب سيكبحها ويجعلها تنكمش وتتناقص تدريجياً، ولا يمكن بأي حال أن تتضخم أو تتزايد. لذا فالخيارات الموجبة الكبيرة مثل $\ar{e}$ أو $\ar{‎e^x}$ هي خيارات خاطئة قطرياً وتستبعد من البداية.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): العدد النيبيري $\ar{e}$ (أو ثابت أويلر) هو الأساس السري الذي يحكم نمو وتكاثر البكتيريا المتضاعفة في المختبرات والفائدة المركبة في البنوك.​

(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-1: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، ص 159)​