الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\pi}{30} \sec^2 2x^\circ}$)

قواعد التفاضل المثلثية القياسية تتطلب أن تكون الزاوية بالتقدير الدائري (الراديان). لذلك، يجب تحويل الزاوية أولاً.

1. تحويل الزاوية من الدرجات إلى الراديان:
   لتحويل $\ar{x^\circ}$ إلى راديان، نضرب في $\ar{\frac{\pi}{180}}$.
   إذن، $\ar{2x^\circ = 2x \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi x}{90}}$ راديان.
2. إعادة كتابة الدالة:
   الدالة تصبح $\ar{3 \tan (\frac{\pi x}{90})}$.
3. الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة:
   $\ar{\frac{d}{dx} \left( 3 \tan \left( \frac{\pi x}{90} \right) \right) = 3 \times \left( \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right) \right) \times \left( \transt{}{مشتقة } \frac{\pi x}{90} \right)}$
   مشتقة $\ar{\frac{\pi x}{90}}$ هي $\ar{\frac{\pi}{90}}$.
4. تجميع الناتج:
   المشتقة $\ar{= 3 \times \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right) \times \frac{\pi}{90}}$
   $\ar{= \frac{3\pi}{90} \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right)}$
   $\ar{= \frac{\pi}{30} \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right)}$
5. إعادة الزاوية إلى الدرجات (للإجابة النهائية):
   $\ar{= \frac{\pi}{30} \sec^2 (2x^\circ)}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 4-6: مشتقة دالة الظل، صفحة 145)

الإجابة الصحيحة: خطأ

📐 التوضيح: مشتقة دالة الظل هي مربع القاطع مضروباً في مشتقة الزاوية، وتُكتب رياضياً: $\ar{\frac{d}{dx}[\tan(f(x))] = f'(x) \sec^2(f(x))}$.

خطوات الحل:

• الدالة الأصلية هي $\ar{y = 8 \tan\left(\frac{1}{4}x\right)}$.
• مشتقة الزاوية $\ar{\frac{1}{4}x}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$ هي الثابت $\ar{\frac{1}{4}}$.
• نضرب المعامل الخارجي في مشتقة الزاوية في مشتقة الدالة: $\ar{8 \times \frac{1}{4} \sec^2\left(\frac{1}{4}x\right)}$.
• يتبسط المقدار جبرياً إلى: $\ar{2 \sec^2\left(\frac{1}{4}x\right)}$.
• العبارة تزعم أن الناتج هو $4$ في المعامل الخارجي، وهذا ادعاء خاطئ.

(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-4: مشتقة دالة الظل، ص 145)