الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{7}{3}}$ وحدة مربعة)

1. صيغة المساحة: بما أن حدود التكامل على محور الصادات، نستخدم الصيغة $\ar{m = \int_{a}^{b} x \,dy}$.
2. تجهيز الدالة: لدينا $\ar{x = y^2}$.
3. إعداد التكامل: حدود التكامل هي من $\ar{y = 1}$ إلى $\ar{y = 2}$.
   $\ar{m = \int_{1}^{2} y^2 \,dy}$
4. حساب التكامل:
   $\ar{m = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3}}$
   $\ar{= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}}$ وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 2-5: المساحة بين منحنى ومحور الصادات، صفحة 107)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2}{3} 18}$ $\ar{\transt{}{وحدة مربعة}}$)

1. تجهيز التكامل: بما أن الدوران حول محور الصادات، نستخدم الصيغة $\ar{\text{المساحة} = \int_{a}^{b} x \,dy}$.
   الدالة هي $\ar{x = y^2}$. وحدود التكامل هي من $\ar{y = 2}$ إلى $\ar{y = 4}$.
2. حساب التكامل:
   $\ar{\text{المساحة} = \int_{2}^{4} y^2 \,dy}$
   = $\ar{\left[ \frac{y^3}{3} \right]_{2}^{4}}$.
3. التعويض بالحدود:
   = $\ar{\left( \frac{4^3}{3} \right) - \left( \frac{2^3}{3} \right)}$
   = $\ar{\frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}}$.

الناتج $\ar{\frac{56}{3}}$ يساوي $\ar{\frac{2}{3} 18}$ $\ar{\transt{}{وحدة مربعة}}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 2-5: المساحة بين منحنى ومحور الصادات، صفحة 115)