1- $\ar{\frac{d}{dx} [4 \tan (\frac{x}{2})]}$ تساوي شرح السؤال استخدم قاعدة السلسلة لتفاضل دالة الظل. مشتقة $\ar{\tan(u)}$ هي $\ar{\sec^2(u) \times u'}$. $\ar{2 \sec^2 (\frac{x}{2})}$ $\ar{8 \sec^2 (\frac{x}{2})}$ $\ar{8 \sec^2 (x)}$ $\ar{4 \sec^2 (x)}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{2 \sec^2 (\frac{x}{2})}$)نطبق قاعدة السلسلة:مشتقة $\ar{\tan(u)}$ هي $\ar{\sec^2(u) \times u'}$.هنا، $\ar{u = \frac{x}{2}}$، إذن $\ar{u' = \frac{1}{2}}$.$\ar{\frac{d}{dx} [4 \tan (\frac{x}{2})] = 4 \times \left[ \sec^2(\frac{x}{2}) \times \frac{1}{2} \right]}$$\ar{= 2 \sec^2(\frac{x}{2})}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 5-6: مشتقة الدوال المثلثية للزوايا المركبة، صفحة 145)
2- ميل العمودي على المنحنى الذي معادلته $\ar{y = 4 \cos 2x}$ عندما $\ar{x = \frac{\pi}{4}}$ يساوي $\ar{\dots\dots}$ شرح السؤال لإيجاد ميل العمودي، أوجد أولاً ميل المماس عن طريق اشتقاق الدالة. ثم استخدم العلاقة بين ميل المماس وميل العمودي. 4 $\ar{\frac{1}{8}}$ $\ar{-\frac{1}{4}}$ -8 الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{8}}$)إيجاد ميل المماس (المشتقة الأولى):$\ar{\frac{dy}{dx} = 4 (-\sin 2x) \times 2 = -8 \sin 2x}$.حساب ميل المماس عند $\ar{x = \frac{\pi}{4}}$:ميل المماس = $\ar{-8 \sin \left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = -8 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}$.بما أن $\ar{\sin(\frac{\pi}{2}) = 1}$، فإن ميل المماس = $\ar{-8 \times 1 = -8}$.إيجاد ميل العمودي:ميل العمودي = $\ar{\frac{-1}{\transt{}{ميل المماس}} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 5-6: مشتقة الدوال المثلثية للزوايا المركبة، صفحة 145)
3- $\ar{\frac{d}{dx} (\tan^2 2x^\circ) = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه مسألة اشتقاق دالة مثلثية زاويتها مقاسة بالدرجات. ما هي الخطوة الأولى التي يجب القيام بها قبل الاشتقاق؟ وكيف تطبق قاعدة السلسلة (دالة الدالة) هنا؟ $\ar{\frac{\pi}{45} \tan(2x^\circ) \sec^2(2x^\circ)}$ $\ar{\frac{\pi}{90} \sec^2(2x^\circ)}$ $\ar{2 \tan(2x^\circ) \sec^2(2x^\circ)}$ $\ar{\frac{\pi}{90} \tan(2x^\circ)}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\pi}{45} \tan(2x^\circ) \sec^2(2x^\circ)}$)تحويل الزاوية إلى راديان: قواعد الاشتقاق المثلثية القياسية تتطلب أن تكون الزاوية بالراديان. للتحويل من درجات إلى راديان، نضرب في $\ar{\frac{\pi}{180}}$.إذن، $\ar{2x^\circ = 2x \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi x}{90}}$ راديان.الدالة تصبح: $\ar{\tan^2(\frac{\pi x}{90})}$.تطبيق قاعدة السلسلة:$\ar{\frac{d}{dx} (\tan(\frac{\pi x}{90}))^2}$$\ar{= 2 \tan^1(\frac{\pi x}{90}) \times \frac{d}{dx}(\tan(\frac{\pi x}{90}))}$$\ar{= 2 \tan(\frac{\pi x}{90}) \times \sec^2(\frac{\pi x}{90}) \times \frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})}$$\ar{= 2 \tan(\frac{\pi x}{90}) \sec^2(\frac{\pi x}{90}) \times \frac{\pi}{90}}$$\ar{= \frac{\pi}{45} \tan(2x^\circ) \sec^2(2x^\circ)}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 5-6: مشتقة الدوال المثلثية للزوايا المركبة، صفحة 145)
4- إذا كان $\ar{y = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x)}$ فإن $\ar{y''(\frac{\pi}{3}) = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال بسّط الدالة الأصلية أولاً باستخدام متطابقة مجموع زاويتين لجيب التمام (cos)، ثم أوجد المشتقة الثانية. $\ar{9}$ $\ar{-9}$ $\ar{6}$ $\ar{3}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{9}$المفهوم: استخدام متطابقة $\ar{\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B}$ لتبسيط الدالة قبل الاشتقاق يختصر الحل بشكل كبير.2. خطوات الحل التفصيلية:نطبق متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين لتبسيط الدالة الأصلية: $\ar{y = \cos(2x + x) = \cos(3x)}$.نوجد المشتقة الأولى للدالة مع ضرب الناتج في مشتقة الزاوية $\ar{3}$: $\ar{y' = -3 \sin(3x)}$.نشتق مرة أخرى للحصول على المشتقة الثانية: $\ar{y'' = -9 \cos(3x)}$.نعوض بقيمة الإحداثي السيني المعطى $\ar{x = \frac{\pi}{3}}$: $\ar{y''(\frac{\pi}{3}) = -9 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = -9 \cos(\pi)}$.بما أن $\ar{\cos(\pi) = -1}$، فإن الناتج النهائي يكون: $\ar{-9 \cdot (-1) = 9}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): الاشتقاق المباشر لحاصل ضرب الدوال في هذه المسألة دون التبسيط بمتطابقات الزوايا المركبة سيؤدي إلى سلسلة طويلة جداً ومعقدة من الحدود الجبرية، لذا فالتبسيط هو الخطوة الأهم.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 5-6: مشتقة الدوال المثلثية للزوايا المركبة، ص 146)
