1- إذا كان $\ar{x^2 = \csc y}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ بدلالة $\ar{x}$ فقط تساوي شرح السؤال استخدم التفاضل الضمني. بعد إيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، ستحتاج إلى التعبير عن $\ar{(\csc y)}$ و $\ar{(\cot y)}$ بدلالة '$\ar{x}$' باستخدام المتطابقة المثلثية التي تربطهما. $\ar{\frac{2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$ $\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^2 - 1}}}$ $\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$ $\ar{\frac{2}{x \sqrt{x^2 - 1}}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$)التفاضل الضمني:$\ar{\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(\csc y)}$$\ar{2x = -\csc y \cot y \frac{dy}{dx}}$عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{-\csc y \cot y}}$التعويض بدلالة $\ar{x}$:نعلم أن $\ar{\csc y = x^2}$.ومن المتطابقة $\ar{1 + \cot^2 y = \csc^2 y}$، نجد أن $\ar{\cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{(x^2)^2 - 1} = \sqrt{x^4 - 1}}$.التبسيط النهائي:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{x^2 \sqrt{x^4 - 1}} = \frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، صفحة 147)
2- إذا كان $\ar{y \sin x - x \cos y = 0}$، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه مسألة تفاضل ضمني تتضمن حاصل ضرب دالتين في كل حد. استخدم قاعدة الضرب لكل حد على حدة، ثم قم بعزل الحدود التي تحتوي على ($\ar{\frac{dy}{dx}}$). $\ar{\frac{\cos y - y \cos x}{\sin x + x \sin y}}$ $\ar{\frac{y \sin x + \cos y}{\sin y - x \cos x}}$ $\ar{x \cos y - y \sin x}$ $\ar{y \cos x + x \sin y}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\cos y - y \cos x}{\sin x + x \sin y}}$)نشتق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$، مع استخدام قاعدة الضرب لكل حد:$\ar{\frac{d}{dx} (y \sin x) - \frac{d}{dx} (x \cos y) = 0}$$\ar{\left( \frac{dy}{dx} \sin x + y(\cos x) \right) - \left( (1)\cos y + x(-\sin y \frac{dy}{dx}) \right) = 0}$نفك الأقواس وننتبه للإشارات:$\ar{\frac{dy}{dx} \sin x + y \cos x - \cos y + x \sin y \frac{dy}{dx} = 0}$نجمع الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$ في طرف، وننقل باقي الحدود إلى الطرف الآخر:$\ar{\frac{dy}{dx} (\sin x + x \sin y) = \cos y - y \cos x}$نعزل $\ar{\frac{dy}{dx}}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos y - y \cos x}{\sin x + x \sin y}}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، صفحة 147)
3- إذا كان $\ar{\cos 2y - \sin x = 0}$، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه دالة ضمنية. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة لـ $\ar{x}$، وتذكر أن تطبق قاعدة السلسلة عند اشتقاق الحد الذي يحتوي على $\ar{y}$. $\ar{\frac{\cos x}{2 \sin 2y}}$ $\ar{\frac{-\cos x}{2 \sin 2y}}$ $\ar{\frac{\sin x}{2 \cos 2y}}$ $\ar{\frac{-\sin x}{2 \cos 2y}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-\cos x}{2 \sin 2y}}$)نقوم باشتقاق المعادلة $\ar{\cos 2y - \sin x = 0}$ ضمنياً بالنسبة للمتغير $\ar{x}$:$\ar{\frac{d}{dx}(\cos 2y) - \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{d}{dx}(0)}$اشتقاق $\ar{\cos 2y}$: باستخدام قاعدة السلسلة، نحصل على $\ar{-\sin(2y) \times (2) \times \frac{dy}{dx} = -2 \sin(2y) \frac{dy}{dx}}$.اشتقاق $\ar{-\sin x}$: هو $\ar{-\cos x}$.تصبح المعادلة بعد الاشتقاق:$\ar{-2 \sin(2y) \frac{dy}{dx} - \cos x = 0}$الآن، نعزل $\ar{\frac{dy}{dx}}$ في طرف لوحدها:$\ar{-2 \sin(2y) \frac{dy}{dx} = \cos x}$$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{-2 \sin(2y)} = -\frac{\cos x}{2 \sin 2y}}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، صفحة 147)
4- إذا كانت $\ar{y^2 \cos x = 1}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = \dots\dots}$ بدلالة $\ar{x, y}$. شرح السؤال اجعل $\ar{y}$ في طرف وحدها كدالة أسية للمتغير $\ar{x}$ قبل البدء في الاشتقاق لتجنب التفاضل الضمني المعقد. $\ar{\frac{1}{2} (y + \frac{2}{3} y \tan^2 x)}$ $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ $\ar{y (\sin^2 x + \tan^2 x)}$ $\ar{\frac{1}{4} y (2 - 3 \tan^2 x)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{4} y (2 + 3 \tan^2 x)}$ (مطابق للصياغة $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ بفك متطابقة القاطع)المفهوم: إيجاد المشتقة الثانية لدالة مثلثية مع استخدام متطابقات فيثاغورس للتبسيط النهائي.2. خطوات الحل التفصيلية:نعيد صياغة الدالة بفصل المتغير $\ar{y}$ في طرف واحد لتسهيل الاشتقاق: $\ar{y^2 = \frac{1}{\cos x} = \sec x \leftarrow y = (\sec x)^{1/2} = (\cos x)^{-1/2}}$.نوجد المشتقة الأولى للدالة باستخدام قاعدة السلسلة للقوى: $\ar{y' = -\frac{1}{2}(\cos x)^{-3/2} \cdot (-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x (\cos x)^{-3/2}}$.نشتق الدالة مرة أخرى للحصول على المشتقة الثانية باستخدام قاعدة حاصل ضرب دالتين: $\ar{y'' = \frac{1}{2}[\cos x \cdot (\cos x)^{-3/2} + \sin x \cdot (-\frac{3}{2})(\cos x)^{-5/2} \cdot (-\sin x)]}$.نبسط المقادير داخل الأقواس بتجميع الأسس المتشابهة: $\ar{y'' = \frac{1}{2}[(\cos x)^{-1/2} + \frac{3}{2}\sin^2 x (\cos x)^{-5/2}]}$.نأخذ القيمة $\ar{y = (\cos x)^{-1/2}}$ كعامل مشترك لتسهيل التحويل: $\ar{y'' = \frac{1}{2}y [1 + \frac{3}{2}\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}] = \frac{1}{2}y [1 + \frac{3}{2}\tan^2 x]}$.نوحد المقامات ونسحب الكسر خارج الأقواس لمطابقة خيارات السؤال المعطاة: $\ar{y'' = \frac{1}{4}y [2 + 3\tan^2 x]}$ وهي تكافئ $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ لأن $\ar{2(1+\tan^2 x)+\tan^2 x = 2+3\tan^2 x}$.الحل بالاستبعاد: وجود المعامل الكسري $\ar{\frac{1}{2}}$ من تفاضل القوة الجذرية مرتين سيولد $\ar{\frac{1}{4}}$ في المشتقة الثانية حتماً. هذا يستبعد الخيارات التي لا تحتوي عليه. ومن القواعد المثلثية نعلم أن الإشارات ستكون موجبة لضرب السوالب، فيستبعد الخيار ذو الطرح.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تحويل الدوال المثلثية المقلوبة لأسس كسرية يسهل جداً تطبيق قاعدة سلسلة القوى في الاشتقاق بدلاً من تعقيدات قاعدة خارج القسمة.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-6: مشتقات الدوال الضمنية التي تحوي نسبا مثلثية، ص 147)
