1- $\ar{\frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin 2x}{1 + x} \right]}$ تساوي شرح السؤال استخدم قاعدة تفاضل خارج القسمة: (المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام) / (مربع المقام). الخيار الصحيح (ج) هو مجرد إعادة ترتيب لناتج قاعدة القسمة. $\ar{\frac{2\cos 2x - \sin x}{(1 + x)^2}}$ $\ar{\frac{2\cos 2x + \sin x}{1 + x}}$ $\ar{\frac{2\cos 2x}{1 + x} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$ $\ar{\frac{2\cos x - \sin x}{(1 + x)^2}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2\cos 2x}{1 + x} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$)نطبق قاعدة القسمة $\ar{(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}}$:$\ar{u = \sin 2x \implies u' = 2\cos 2x}$$\ar{v = 1 + x \implies v' = 1}$التطبيق:المشتقة = $\ar{\frac{(2\cos 2x)(1 + x) - (\sin 2x)(1)}{(1 + x)^2}}$توزيع المقام على حدي البسط:$\ar{= \frac{(2\cos 2x)(1 + x)}{(1 + x)^2} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$التبسيط النهائي:$\ar{= \frac{2\cos 2x}{1 + x} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$الناتج يطابق الخيار (ج).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)
2- تفاضل $\ar{\frac{(3 - x)^2}{x^2 + 1}}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$ يساوي شرح السؤال استخدم قاعدة تفاضل خارج القسمة. كن حذراً عند فك الأقواس وتجميع الحدود في البسط. $\ar{\frac{2(x + 3)(1 - 3x)}{x^2 + 1}}$ $\ar{\frac{2(x - 3)(1 + 3x)}{(x^2 + 1)^2}}$ $\ar{\frac{(x + 3)(3x - 1)}{(x^2 + 1)^2}}$ $\ar{\frac{(x - 3)(1 + 3x)}{x^2 + 1}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2(x - 3)(1 + 3x)}{(x^2 + 1)^2}}$)قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين هي:$\ar{\frac{\transt{}{المقام} \times \transt{}{مشتقة البسط} - \transt{}{البسط} \times \transt{}{مشتقة المقام}}{\transt{}{مربع المقام}}}$بالرموز، إذا كانت $\ar{y = \frac{z}{v}}$ فإن:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{v (\frac{dz}{dx}) - z (\frac{dv}{dx})}{v^2}}$في هذا السؤال:دالة البسط: $\ar{z = (3 - x)^2 \implies \frac{dz}{dx} = 2(3 - x)(-1) = 2x - 6}$دالة المقام: $\ar{v = x^2 + 1 \implies \frac{dv}{dx} = 2x}$التطبيق في القاعدة وتبسيط البسط:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2x - 6) - (3 - x)^2(2x)}{(x^2 + 1)^2}}$$\ar{= \frac{(2x^3 + 2x - 6x^2 - 6) - (18x - 12x^2 + 2x^3)}{(x^2 + 1)^2}}$$\ar{= \frac{2x^3 - 6x^2 + 2x - 6 - 18x + 12x^2 - 2x^3}{(x^2 + 1)^2}}$$\ar{= \frac{6x^2 - 16x - 6}{(x^2 + 1)^2}}$$\ar{= \frac{2(3x^2 - 8x - 3)}{(x^2 + 1)^2}}$$\ar{= \frac{2(3x + 1)(x - 3)}{(x^2 + 1)^2}}$وهذا يطابق الخيار (ب).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)
3- إذا كانت $\ar{y = \frac{(1 - x)^2}{1 - x^2}}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots}$ شرح السؤال قبل الاشتقاق، حاول تبسيط الدالة. المقام هو فرق بين مربعين. هل يمكن اختصاره مع البسط؟ $\ar{\transt{}{صفراً}}$ 1 $\ar{\frac{-2}{(1 + x)^2}}$ $\ar{\frac{x}{(1 - x^2)^2}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-2}{(1 + x)^2}}$)تبسيط الدالة الأصلية:المقام $\ar{1 - x^2}$ هو فرق بين مربعين، ويمكن تحليله إلى $\ar{(1 - x)(1 + x)}$.إذن، $\ar{y = \frac{(1 - x)^2}{(1 - x)(1 + x)}}$بالاختصار، نحصل على $\ar{y = \frac{1 - x}{1 + x}}$.اشتقاق الدالة المبسطة:نستخدم قاعدة القسمة:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{(-1)(1 + x) - (1 - x)(1)}{(1 + x)^2}}$$\ar{= \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{-2}{(1 + x)^2}}$.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)
4- $\ar{\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1 - x)^2} \right)} =$ شرح السؤال هذه مشتقة خارج قسمة دالتين. طبّق قاعدة القسمة: (المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام) / (مربع المقام). $\ar{\frac{x}{2(1 - x)^4}}$ $\ar{\frac{x + 1}{(1 - x)^2}}$ $\ar{\frac{x + 1}{(1 - x)^3}}$ $\ar{\frac{1}{(1 - x)^4}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{x + 1}{(1 - x)^3}}$)نطبق قاعدة القسمة $\ar{(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}}$:$\ar{u = x \implies u' = 1}$$\ar{v = (1 - x)^2 \implies v' = 2(1 - x)(-1) = -2(1 - x)}$المشتقة = $\ar{\frac{(1)(1 - x)^2 - (x)(-2(1 - x))}{((1 - x)^2)^2}}$نأخذ $\ar{(1 - x)}$ كعامل مشترك في البسط:$\ar{= \frac{(1 - x) [ (1 - x) + 2x ]}{(1 - x)^4}}$نختصر ونبسط:$\ar{= \frac{1 - x + 2x}{(1 - x)^3} = \frac{x + 1}{(1 - x)^3}}$(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)
