الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 (1 + 6x)}$)

نطبق قاعدة تفاضل حاصل الضرب $\ar{(uv)' = u'v + uv'}$ حيث:

• $\ar{u = \frac{2}{x} = 2x^{-1} \implies u' = -2x^{-2} = \frac{-2}{x^2}}$
• $\ar{v = (1 - 3x)^3 \implies v' = 3(1 - 3x)^2 (-3) = -9(1 - 3x)^2}$

التطبيق:
المشتقة = $\ar{(\frac{-2}{x^2})(1 - 3x)^3 + (\frac{2}{x})(-9(1 - 3x)^2)}$

التبسيط بأخذ عامل مشترك: نأخذ $\ar{\frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2}$ كعامل مشترك.

$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 \left[ (1 - 3x) + (\frac{-9x}{-1}) \right]}$

$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 [1 - 3x + 9x]}$

الناتج النهائي:
$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 (1 + 6x)}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 2-3: تفاضل حاصل الضرب، صفحة 55)

الإجابة الصحيحة ($\ar{x^2(x + 2)(5x + 6)}$)

نطبق قاعدة تفاضل حاصل الضرب $\ar{(uv)' = u'v + uv'}$ حيث:

• $\ar{u = x^3 \implies u' = 3x^2}$
• $\ar{v = (x + 2)^2 \implies v' = 2(x + 2)(1) = 2(x + 2)}$

التطبيق:
$\ar{d'(x) = (3x^2)(x + 2)^2 + (x^3)(2(x + 2))}$

التبسيط: نأخذ العامل المشترك الأكبر وهو $\ar{x^2(x + 2)}$.

$\ar{d'(x) = x^2(x + 2) [3(x + 2) + 2x]}$

نقوم بفك الأقواس الداخلية وتجميع الحدود:

$\ar{d'(x) = x^2(x + 2) [3x + 6 + 2x] = x^2(x + 2) (5x + 6)}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 2-3: تفاضل حاصل الضرب، صفحة 55)

الإجابة الصحيحة: $\ar{3}$​

المفهوم: تبسيط الدوال الكسرية أو المضروبة قبل الاشتقاق يقلل من احتمالية الخطأ عند تطبيق المشتقات العليا.​

2. خطوات الحل التفصيلية:

• نُعيد صياغة الدالة بالتخلص من الأس السالب عن طريق تحويله إلى كسر مقلوب مضروب: $\ar{d(x) = (2x^3 - \frac{3}{2}x) \cdot \frac{2}{3x}}$.
• نوزع الضرب الجبري على ما داخل القوس لتبسيط الدالة الأصلية تماماً: $\ar{d(x) = \frac{4}{3}x^2 - 1}$.
• نحسب دالة المشتقة الأولى بتطبيق قاعدة القوة المباشرة لكثيرات الحدود: $\ar{d'(x) = \frac{8}{3}x}$.
• نشتق مرة أخرى للحصول على دالة المشتقة الثانية المطلوبة في المسألة: $\ar{d''(x) = \frac{8}{3}}$ (دالة ثابتة).
• نُعوض بالقيمة العددية $\ar{x = \frac{1}{8}}$ في دالة المشتقة الأولى: $\ar{d'(\frac{1}{8}) = \frac{8}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{3}}$.
• نجمع قيم المشتقة الأولى والمشتقة الثانية المقابلة لنفس الإحداثي السيني: $\ar{\frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3}$.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): الاشتقاق المباشر لقاعدة حاصل الضرب ثم القسمة في هذه المسألة سيستغرق وقتاً طويلاً جداً في الامتحان، التبسيط الجبري هو المفتاح دائماً.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 2-3: تفاضل حاصل الضرب، ص 58)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{‎x^2(x + 2)(5x + 6)}$​

المفهوم: لاشتقاق حاصل ضرب دالتين نستخدم القاعدة: المشتقة = (الأولى $\times$ مشتقة الثانية) $+$ (الثانية $\times$ مشتقة الأولى). ثم نستخرج العوامل المشتركة الجبرية لتبسيط النتيجة.​

خطوات الحل:

• نحدد الدالة الأولى $\ar{u = x^3}$ ومشتقتها $\ar{‎u' = 3x^2}$.
• نحدد الدالة الثانية $\ar{v = (x+2)^2}$ ومشتقتها بالقاعدة السلسلة $\ar{v' = 2(x+2)}$.
• بتطبيق قاعدة حاصل الضرب: $\ar{‎d'(x) = x^3[2(x+2)] + (x+2)^2[3x^2]}$.
• نأخذ العامل المشترك الأكبر من كلا الحدين وهو $\ar{x^2(x+2)}$.
• يتبقى داخل القوس الكبير: $\ar{[2x + 3(x+2)]}$.
• نبسط ما بداخل القوس الداخلي لتصبح: $\ar{2x + 3x + 6 = 5x + 6}$.
• إذن الناتج النهائي المبسط: $\ar{x^2(x+2)(5x+6)}$.​

💡 إضاءة (تطبيق عملي): تبسيط المشتقات الجبرية باستخراج العوامل المشتركة ليس مجرد خطوة تجميلية للحل، بل هو إجراء جوهري لتسهيل إيجاد النقاط الحرجة للأنظمة عند مساواة المشتقة بالصفر.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-2: تفاضل حاصل ضرب دالتين، ص 55)​