1- $\ar{\frac{d}{dx} (\log \sin x) = \cot x}$ شرح السؤال لتفاضل دالة لوغاريتمية مركبة $\ar{\log(d(x))}$، نستخدم قاعدة السلسلة. ما هي القاعدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نستخدم قاعدة تفاضل الدوال اللوغاريتمية المركبة: $\ar{\frac{d}{dx} (\log d(x)) = \frac{d'(x)}{d(x)}}$.تحديد الدالة الداخلية: $\ar{d(x) = \sin x}$.إيجاد مشتقتها: $\ar{d'(x) = \cos x}$.تطبيق القاعدة:$\ar{\frac{d}{dx} (\log \sin x) = \frac{\cos x}{\sin x}}$.التبسيط: نعلم أن $\ar{\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x}$. إذن، الناتج هو $\ar{\cot x}$.العبارة في السؤال صحيحة.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
2- إذا كان $\ar{y = \log(\frac{\sin x}{\cos 2x})}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ تساوي شرح السؤال قبل الاشتقاق، استخدم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الدالة. تذكر أن لوغاريتم القسمة يساوي طرح اللوغاريتمات. بعد ذلك، اشتق كل حد على حدة. $\ar{2\sin x \sin 2x}$ $\ar{\cos 2x - \sin 2x}$ $\ar{\cot x + 2\tan 2x}$ $\ar{2\tan x - \cot x}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\cot x + 2\tan 2x}$)تبسيط الدالة باستخدام خصائص اللوغاريتمات:$\ar{y = \log(\sin x) - \log(\cos 2x)}$اشتقاق الدالة المبسطة: نستخدم قاعدة $\ar{\frac{d}{dx}(\log d(x)) = \frac{d'(x)}{d(x)}}$.$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}}$التبسيط النهائي:$\ar{= \cot x + 2(\frac{\sin 2x}{\cos 2x})}$$\ar{= \cot x + 2\tan 2x}$(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
3- إذا كانت $\ar{y + \log(xy) = 1}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ تساوي شرح السؤال استخدم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط المعادلة أولاً، ثم استخدم التفاضل الضمني لإيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$. $\ar{\frac{y}{x(y + 1)}}$ $\ar{\frac{x}{y(x + 1)}}$ $\ar{-\frac{y}{x(y + 1)}}$ $\ar{-\frac{x}{y(x + 1)}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{-\frac{y}{x(y + 1)}}$)تبسيط المعادلة: باستخدام خاصية لوغاريتم الضرب، تصبح المعادلة:$\ar{y + \log x + \log y = 1}$.التفاضل الضمني بالنسبة لـ $\ar{x}$:$\ar{\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0}$عزل الحدود التي تحتوي على $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{\frac{dy}{dx} (1 + \frac{1}{y}) = -\frac{1}{x}}$$\ar{\frac{dy}{dx} (\frac{y + 1}{y}) = -\frac{1}{x}}$إيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x} \times \frac{y}{y + 1} = -\frac{y}{x(y + 1)}}$(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
4- إذا كان $\ar{y = \frac{\log x}{x}}$ فإن قيمة $\ar{x}$ عندما $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ تساوي شرح السؤال استخدم قاعدة تفاضل خارج القسمة لإيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، ثم ساوِ المشتقة بالصفر وحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة $\ar{x}$. $\ar{x = 1}$ $\ar{x = e}$ $\ar{x = \log y}$ $\ar{x = y}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{x = e}$)نستخدم قاعدة تفاضل خارج القسمة $\ar{(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}}$.$\ar{u = \log x \implies u' = \frac{1}{x}}$$\ar{v = x \implies v' = 1}$التطبيق:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{(\frac{1}{x})(x) - (\log x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}}$مساواة المشتقة بالصفر:$\ar{\frac{1 - \log x}{x^2} = 0}$لكي يساوي الكسر صفراً، يجب أن يكون البسط يساوي صفراً:$\ar{1 - \log x = 0 \implies \log x = 1}$بما أن اللوغاريتم المستخدم هو اللوغاريتم الطبيعي (أساسه $\ar{e}$)، فإن $\ar{x = e^1 = e}$.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
