1- إذا كانت $\ar{y^2 + 3xy = 10}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{6}}$ عند النقطة $\ar{(1, 2)}$. شرح السؤال هذه دالة ضمنية. تذكر عند اشتقاقها أن $\ar{y}$ هي دالة في $\ar{x}$. لا تنسَ استخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب للحد $\ar{3xy}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلى $\ar{x}$:$\ar{\frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3xy) = \frac{d}{dx}(10)}$اشتقاق $\ar{y^2}$ يعطي $\ar{2y \frac{dy}{dx}}$.اشتقاق $\ar{3xy}$ (باستخدام قاعدة الضرب) يعطي: $\ar{3((1)(y) + (x)(\frac{dy}{dx})) = 3y + 3x \frac{dy}{dx}}$.اشتقاق $\ar{10}$ يعطي $\ar{0}$.تصبح المعادلة: $\ar{2y \frac{dy}{dx} + 3y + 3x \frac{dy}{dx} = 0}$.نعزل الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$:$\ar{\frac{dy}{dx} (2y + 3x) = -3y}$$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3y}{2y + 3x}}$الآن نعوض بقيم النقطة $\ar{(1, 2)}$ أي $\ar{x = 1}$ و $\ar{y = 2}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3(2)}{2(2) + 3(1)} = \frac{-6}{4 + 3} = -\frac{6}{7}}$.الناتج $\ar{-\frac{6}{7}}$ لا يساوي $\ar{-\frac{7}{6}}$، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
2- إذا كان $\ar{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}$، حيث $\ar{a}$، $\ar{b}$ ثابتان، فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ عند النقطة $\ar{(a \cos e, b \sin e)}$ هي $\ar{-\frac{b}{a} \cot e}$. شرح السؤال هذه معادلة قطع ناقص. يمكنك إيجاد المشتقة باستخدام التفاضل الضمني. اشتق كل حد بالنسبة لـ $\ar{x}$، ثم أوجد $\ar{\frac{dy}{dx}}$ وعوض بإحداثيات النقطة البارامترية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نقوم باشتقاق معادلة القطع الناقص ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$:$\ar{\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0}$نعيد ترتيب المعادلة لعزل $\ar{\frac{dy}{dx}}$:$\ar{\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}}$$\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \times \frac{b^2}{2y} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}}$الآن، نعوض بقيم النقطة البارامترية $\ar{x = a \cos e}$ و $\ar{y = b \sin e}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 (a \cos e)}{a^2 (b \sin e)} = -\frac{b}{a} (\frac{\cos e}{\sin e})}$وبما أن $\ar{\cot e = \frac{\cos e}{\sin e}}$، فإن الناتج هو $\ar{-\frac{b}{a} \cot e}$.النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
3- النقطة $\ar{q(2, 6)}$ تقع على المنحنى $\ar{xy - y^2 + 12x = 0}$ فإن قياس زاوية ميل المماس للمنحنى مع الاتجاه الموجب لمحور السينات عند $\ar{q}$ تساوي شرح السؤال ميل المماس هو المشتقة الأولى. استخدم التفاضل الضمني لإيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$. بعد ذلك، عوض بإحداثيات النقطة $\ar{(2, 6)}$ لإيجاد قيمة الميل ($\ar{m}$). أخيراً، استخدم دالة الظل العكسية $\ar{(\tan^{-1})}$ لإيجاد الزاوية. $\ar{\theta = 60.9^\circ}$ $\ar{\theta = 20.9^\circ}$ $\ar{\theta = 40^\circ}$ $\ar{\theta = 90.6^\circ}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\theta = 60.9^\circ}$)التفاضل الضمني للمعادلة:$\ar{\frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(12x) = 0}$$\ar{(y + x\frac{dy}{dx}) - 2y\frac{dy}{dx} + 12 = 0}$عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{y + 12 = 2y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx}}$$\ar{y + 12 = (2y - x)\frac{dy}{dx}}$$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{y + 12}{2y - x}}$حساب الميل ($\ar{m}$) عند النقطة $\ar{(2, 6)}$:$\ar{m = \frac{6 + 12}{2(6) - 2} = \frac{18}{12 - 2} = \frac{18}{10} = 1.8}$إيجاد الزاوية ($\ar{\theta}$):$\ar{\theta = \tan^{-1}(1.8) \approx 60.9^\circ}$(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
4- إذا كانت $\ar{x^2y^3 = (x + y)^5}$ حيث $\ar{x \neq 1}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ تساوي شرح السؤال هذه المعادلة يصعب اشتقاقها مباشرة. الطريقة الأسهل هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين أولاً لتبسيط الأسس، ثم استخدام التفاضل الضمني. $\ar{\frac{y^2}{x}}$ $\ar{\frac{y}{x}}$ $\ar{\frac{x}{y}}$ $\ar{\frac{x^2}{y}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{y}{x}}$)نستخدم التفاضل اللوغاريتمي لتسهيل الحل.أخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:$\ar{\log(x^2 y^3) = \log((x + y)^5)}$$\ar{2\log x + 3\log y = 5\log(x + y)}$التفاضل الضمني بالنسبة لـ $\ar{x}$:$\ar{\frac{2}{x} + \frac{3}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)}$$\ar{\frac{2}{x} + \frac{3}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x + y} + \frac{5}{x + y} \frac{dy}{dx}}$تجميع حدود $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{\frac{dy}{dx} \left( \frac{3}{y} - \frac{5}{x + y} \right) = \frac{5}{x + y} - \frac{2}{x}}$$\ar{\frac{dy}{dx} \left( \frac{3(x + y) - 5y}{y(x + y)} \right) = \frac{5x - 2(x + y)}{x(x + y)}}$$\ar{\frac{dy}{dx} \left( \frac{3x - 2y}{y(x + y)} \right) = \frac{3x - 2y}{x(x + y)}}$عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$: باختصار $\ar{(3x - 2y)}$ و $\ar{(x + y)}$ من الطرفين.$\ar{\frac{dy}{dx} \frac{1}{y} = \frac{1}{x} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}}$.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
