1- تعطى بالعلاقة بين الإزاحة $\ar{\transt{}{ف}}$ متر لجسم في زمن $\ar{n}$ ثانية كالآتي $\ar{\transt{}{ف} = 3n^2 - 12n}$ فإن إزاحة الجسم عندما يسكن لحظياً تساوي شرح السؤال "يسكن لحظياً" يعني أن السرعة تساوي صفراً. أوجد أولاً دالة السرعة باشتقاق الإزاحة، ثم أوجد الزمن الذي تكون فيه السرعة صفراً. أخيراً، عوض بهذا الزمن في معادلة الإزاحة الأصلية. $\ar{12}$ م $\ar{-6}$ م $\ar{6}$ م $\ar{-12}$ م الإجابة الصحيحة ($\ar{-12}$ م)إيجاد دالة السرعة ($\ar{z}$):$\ar{z = \frac{d\transt{}{ف}}{dn} = 6n - 12}$.إيجاد زمن السكون اللحظي: نضع السرعة تساوي صفراً.$\ar{6n - 12 = 0 \implies 6n = 12 \implies n = 2}$ ثانية.حساب الإزاحة عند زمن السكون: نعوض بـ $\ar{n = 2}$ في معادلة الإزاحة الأصلية.$\ar{\transt{}{ف} = 3(2)^2 - 12(2) = 3(4) - 24 = 12 - 24 = -12}$ متر.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
2- المسافة $\ar{\transt{}{ف} = n^3 - 6n^2 + 9n}$ فإن العجلة بدلالة $\ar{n}$ تساوي شرح السؤال للوصول إلى العجلة من المسافة، تحتاج إلى الاشتقاق مرتين. المشتقة الأولى تعطيك السرعة، والمشتقة الثانية تعطيك العجلة. $\ar{6n - 12}$ $\ar{3n^2 - 12n + 9}$ $\ar{3n^2 - 12n}$ $\ar{3n^2 - 12}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{6n - 12}$)إيجاد دالة السرعة ($\ar{z}$) باشتقاق المسافة:$\ar{z = \frac{d\transt{}{ف}}{dn} = 3n^2 - 12n + 9}$إيجاد دالة العجلة ($\ar{a}$) باشتقاق السرعة:$\ar{a = \frac{dz}{dn} = 6n - 12}$الخيار الصحيح يطابق دالة العجلة التي تم حسابها.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
3- حركة جسيم تعطى بالعلاقة $\ar{\transt{}{ف} = n(5 - n)}$ حيث $\ar{\transt{}{ف}}$ بالأمتار هي الإزاحة عن $\ar{(\transt{}{و})}$، $\ar{n}$ الزمن بالثواني فإن المسافة المقطوعة في الثانية الثالثة فقط تساوي شرح السؤال المسافة تختلف عن الإزاحة إذا غيّر الجسم اتجاهه. أوجد متى تكون السرعة صفراً. إذا كان هذا الزمن يقع داخل "الثانية الثالثة" (الفترة من $\ar{n=2}$ إلى $\ar{n=3}$)، فيجب تجزئة التكامل. 1 م $\ar{0.5}$ م صفر م $\ar{6 \frac{1}{2}}$ م الإجابة الصحيحة ($\ar{0.5}$ م) هناك فرق جوهري بين المسافة والإزاحة. يجب أولاً التحقق مما إذا كان الجسم يغير اتجاه حركته خلال الفترة المطلوبة. دالة الإزاحة: $\ar{\transt{}{ف}(n) = 5n - n^2}$. إيجاد دالة السرعة: $\ar{v(n) = \frac{d\transt{}{ف}}{dn} = (5) - (2n)}$. تحديد نقطة الانعطاف: نضع السرعة تساوي صفراً. $\ar{5 - 2n = 0 \implies n = 2.5}$ ثانية. تحليل الحركة: بما أن الجسم يغير اتجاهه عند $\ar{n = 2.5}$، وهي نقطة تقع داخل فترة "الثانية الثالثة" (من $\ar{n=2}$ إلى $\ar{n=3}$)، فلا يمكن حساب المسافة مباشرة. يجب حساب المسافة على مرحلتين: المرحلة الأولى: من $\ar{n=2}$ إلى $\ar{n=2.5}$. المرحلة الثانية: من $\ar{n=2.5}$ إلى $\ar{n=3}$. حساب المسافة الكلية: المسافة = $\ar{|\transt{}{ف}(2.5) - \transt{}{ف}(2)| + |\transt{}{ف}(3) - \transt{}{ف}(2.5)|}$ - $\ar{\transt{}{ف}(2) = 5(2) - 2^2 = 6}$ - $\ar{\transt{}{ف}(2.5) = 5(2.5) - (2.5)^2 = 12.5 - 6.25 = 6.25}$ - $\ar{\transt{}{ف}(3) = 5(3) - 3^2 = 15 - 9 = 6}$ المسافة = $\ar{|6.25 - 6| + |6 - 6.25| = 0.25 + |-0.25| = 0.25 + 0.25 = 0.5}$ متر. (الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
4- يتحرك جسم في خط مستقيم ماراً بنقطة ثابتة $\ar{(\transt{}{و})}$ وعجلته $\ar{c}$ م/ث² تعطى بالعلاقة $\ar{c = 2 - 12n^2}$ حيث $\ar{n}$ الزمن بعد مروره بالنقطة $\ar{(\transt{}{و})}$ فإن العجلة عند النقطة $\ar{(\transt{}{و})}$ تساوي شرح السؤال "عند النقطة $\ar{(\transt{}{و})}$" تعني لحظة البداية، أي عندما يكون الزمن $\ar{n=0}$. عوض بهذه القيمة في معادلة العجلة. $\ar{ 10 m/\transt{}{ث}^2}$ $\ar{ 12 m/\transt{}{ث}^2}$ $\ar{ 8 m/\transt{}{ث}^2}$ $\ar{ 2 m/\transt{}{ث}^2}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{2}$ م/ث²) المرور بالنقطة الثابتة $\ar{(\transt{}{و})}$ يمثل بداية الحركة، أي عند الزمن $\ar{n = 0}$. لإيجاد العجلة عند هذه اللحظة، نعوض بـ $\ar{n = 0}$ في معادلة العجلة: $\ar{c = 2 - 12(0)^2 = 2 - 0 = 2}$ م/ث². (الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
