1- $\ar{\frac{dm}{dn} = \frac{dm}{d\radius} \times \frac{d\radius}{dn}}$ شرح السؤال هذه هي قاعدة السلسلة (Chain Rule) للتفاضل. هل هي مكتوبة بشكل صحيح لربط معدلات التغير؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه العبارة تمثل تطبيقاً صحيحاً ومباشراً لقاعدة السلسلة (Chain Rule) في سياق المعدلات الزمنية المرتبطة.إذا كانت المساحة $\ar{m}$ دالة في نصف القطر $\ar{\radius}$، وكان نصف القطر $\ar{\radius}$ بدوره دالة في الزمن $\ar{n}$، فإن معدل تغير المساحة بالنسبة للزمن $\ar{(\frac{dm}{dn})}$ يساوي حاصل ضرب معدل تغير المساحة بالنسبة لنصف القطر $\ar{(\frac{dm}{d\radius})}$ في معدل تغير نصف القطر بالنسبة للزمن $\ar{(\frac{d\radius}{dn})}$.العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
2- يتناقص طول نصف قطر دائرة بمعدل $\ar{3}$ سم/ث فإن معدل تغير المحيط يساوي شرح السؤال اكتب معادلة محيط الدائرة، ثم اشتقها بالنسبة للزمن ($\ar{t}$) باستخدام قاعدة السلسلة. لا تنس أن التناقص يعني أن المعدل سالب. $\ar{6\pi}$ سم/ث $\ar{9\pi}$ سم/ث $\ar{-6\pi}$ سم/ث $\ar{-9\pi}$ سم/ث الإجابة الصحيحة ($\ar{-6\pi}$ سم/ث)المعطيات: معدل تغير نصف القطر $\ar{\frac{d\radius}{dt} = -3}$ سم/ث (الإشارة سالبة لأنه يتناقص).المطلوب: معدل تغير المحيط $\ar{\frac{dm}{dt}}$.العلاقة: محيط الدائرة $\ar{m = 2\pi \radius}$.الاشتقاق بالنسبة للزمن:$\ar{\frac{dm}{dt} = 2\pi \frac{d\radius}{dt}}$التعويض:$\ar{\frac{dm}{dt} = 2\pi (-3) = -6\pi}$ سم/ث.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
3- إذا كان ميل المماس لمنحنى الدالة $\ar{y = d(x)}$ عند النقطة $\ar{(x , y)}$ يساوي $\ar{4}$ وكانت $\ar{x}$ تتناقص بمعدل $\ar{6}$ وحدات/ثانية فإن معدل تغير $\ar{y}$ بالنسبة للزمن يساوي شرح السؤال هذه مسألة "معدلات زمنية مرتبطة". استخدم قاعدة السلسلة: (معدل تغير $\ar{y}$) = (معدل تغير $\ar{y}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$) × (معدل تغير $\ar{x}$ بالنسبة للزمن). $-24$ 24 22 -22 الإجابة الصحيحة ($\ar{-24}$)نستخدم قاعدة السلسلة للمعدلات الزمنية المرتبطة:$\ar{\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}}$المعطيات:ميل المماس $\ar{\frac{dy}{dx} = 4}$.معدل تناقص $\ar{x}$ هو $\ar{\frac{dx}{dt} = -6}$ (الإشارة سالبة لأنه تناقص).بالتعويض في القاعدة:$\ar{\frac{dy}{dt} = (4) \times (-6) = -24}$ وحدة/ثانية.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
4- صب رمل على أرض أفقية بمعدل $\ar{15}$ سم³/ث وكون كومة على شكل مخروط دائري قائم ارتفاعه ثلاثة أخماس طول نصف قطر قاعدته فإن معدل تغير طول نصف القطر عندما يكون طول القطر 20 سم يساوي $\ar{\dots\dots}$ سم/ث. شرح السؤال هذه مسألة "معدلات زمنية مرتبطة". اكتب قانون حجم المخروط، ثم استخدم العلاقة بين الارتفاع ونصف القطر لجعله دالة في متغير واحد فقط ($\ar{\radius}$). بعد ذلك، اشتق ضمنياً بالنسبة للزمن وعوض بالقيم المعطاة. $\ar{\frac{1}{16\pi}}$ $\ar{\frac{1}{16} \pi}$ $\ar{\frac{1}{4\pi}}$ $\ar{\frac{1}{4} \pi}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{4\pi}}$)المعطيات:معدل تغير الحجم $\ar{\frac{dv}{dn} = 15}$.العلاقة بين الارتفاع ($\ar{h}$) ونصف القطر ($\ar{\radius}$): $\ar{h = \frac{3}{5} \radius}$.المطلوب: $\ar{\frac{d\radius}{dn}}$ عندما يكون القطر = 20، أي $\ar{\radius = 10}$.قانون حجم المخروط: $\ar{v = \frac{1}{3} \pi \radius^2 h}$.كتابة الحجم بدلالة متغير واحد ($\ar{\radius}$):$\ar{v = \frac{1}{3} \pi \radius^2 \left(\frac{3}{5} \radius\right) = \frac{1}{5} \pi \radius^3}$.الاشتقاق الضمني بالنسبة للزمن ($\ar{n}$):$\ar{\frac{dv}{dn} = \frac{1}{5} \pi \left(3 \radius^2 \frac{d\radius}{dn}\right) = \frac{3}{5} \pi \radius^2 \frac{d\radius}{dn}}$.التعويض بالقيم المعطاة:$\ar{15 = \frac{3}{5} \pi (10)^2 \frac{d\radius}{dn}}$$\ar{15 = \frac{3}{5} \pi (100) \frac{d\radius}{dn}}$$\ar{15 = 60\pi \frac{d\radius}{dn}}$حل المعادلة لإيجاد المطلوب:$\ar{\frac{d\radius}{dn} = \frac{15}{60\pi} = \frac{1}{4\pi}}$ سم/ث.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
