الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع: نساوي المعادلتين $\ar{\sin x = \cos x}$. بالقسمة على $\ar{\cos x}$، نحصل على $\ar{\tan x = 1}$. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عند $\ar{x = \frac{\pi}{4}}$.
2. تقسيم التكامل: بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:
   • من $\ar{0}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{4}}$، يكون منحنى $\ar{\cos x}$ هو العلوي.
   • من $\ar{\frac{\pi}{4}}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{2}}$، يكون منحنى $\ar{\sin x}$ هو العلوي.
3. حساب المساحة:
   المساحة = $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \,dx}$
   = $\ar{\left[ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ -\cos x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}}$
   = $\ar{\left( (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) \right) + \left( (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)}$
   = $\ar{(\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2}$.

الناتج هو $\ar{2\sqrt{2} - 2}$، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال $\ar{(\sqrt{2} - 1)}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)

الإجابة الصحيحة ($\ar{m = \int_{a}^{b} (y_2 - y_1) \,dx}$)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين $\ar{y_2}$ (العلوي) و $\ar{y_1}$ (السفلي) في الفترة من $\ar{x = a}$ إلى $\ar{x = b}$، نستخدم التكامل المحدود للفرق بين الدالتين.

القاعدة هي: تكامل (الدالة العلوية - الدالة السفلية).

لذلك، الصيغة الصحيحة هي: $\ar{m = \int_{a}^{b} (y_2 - y_1) \,dx}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، (المساحة بين منحنيين)، صفحة 115)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{3}}$)

1. إيجاد حدود التكامل (نقاط التقاطع):
   لدينا $\ar{y = x^2}$ و $\ar{y^2 = x}$. نعوض بالمعادلة الأولى في الثانية: $\ar{(x^2)^2 = x \implies x^4 = x}$.
   $\ar{x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0}$.
   الحلول هي $\ar{x = 0}$ و $\ar{x = 1}$. هذه هي حدود التكامل.
2. تحديد الدالة العلوية والسفلية: في الفترة $\ar{[0 , 1]}$، منحنى $\ar{y = \sqrt{x}}$ (وهو الجزء العلوي من $\ar{y^2 = x}$) يقع فوق منحنى $\ar{y = x^2}$.
3. إعداد التكامل وحسابه:
   المساحة = $\ar{\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \,dx = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^2) \,dx}$
   $\ar{= \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}}$
   $\ar{= \left( \frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{3}}$ وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، المساحة بين منحنيين، صفحة 115)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2}{3} 10}$)

لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد حدود التكامل (نقاط التقاطع):
   نساوي المعادلتين: $\ar{x(x - 2) = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0}$.
   بالتحليل: $\ar{(x - 3)(x + 1) = 0}$. إذن، نقاط التقاطع عند $\ar{x = -1}$ و $\ar{x = 3}$.
2. تحديد الدالة العلوية والسفلية: في الفترة $\ar{[-1, 3]}$، الخط المستقيم $\ar{y = 3}$ يقع فوق المنحنى $\ar{y = x^2 - 2x}$.
3. إعداد التكامل: المساحة = $\ar{\int_{-1}^{3} (\transt{}{الدالة العلوية} - \transt{}{الدالة السفلية}) \,dx}$
   المساحة = $\ar{\int_{-1}^{3} (3 - (x^2 - 2x)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx}$
4. حساب التكامل:
   $\ar{\left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}}$
   = $\ar{\left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)}$
   = $\ar{9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}}$.

الناتج $\ar{\frac{32}{3}}$ يساوي $\ar{\frac{2}{3} 10}$ $\ar{\transt{}{وحدة مربعة}}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 2-5: المساحة بين منحنى ومحور الصادات، مع تعميم الفكرة، صفحة 115)