الإجابة الصحيحة (صح)

العبارة تصف التعريف الأساسي للتكامل المحدود كوسيلة لحساب المساحة تحت منحنى دالة.

إذا كانت الدالة $\ar{y = d(x)}$ موجبة ومستمرة في الفترة $\ar{[a, b]}$، فإن المساحة ($\ar{m}$) المحصورة بين المنحنى ومحور السينات والمستقيمين $\ar{x = a}$ و $\ar{x = b}$ تُعطى بدقة بواسطة التكامل المحدود:

$\ar{m = \int_{a}^{b} d(x) \,dx}$

العبارة صحيحة تماماً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 105)

الإجابة الصحيحة (صح)

لحساب مساحة المنطقة المحددة، نستخدم التكامل المحدود للدالة $\ar{y}$ من $\ar{x = 1}$ إلى $\ar{x = 2}$.

1. إعداد التكامل:
   المساحة ($\ar{m}$) $\ar{= \int_{1}^{2} (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx}$
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\int (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx = \frac{1}{4} (\frac{x^3}{3}) + 4x = \frac{x^3}{12} + 4x}$
3. حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{m = \left[ \frac{x^3}{12} + 4x \right]_{1}^{2}}$
   $\ar{m = \left( \frac{2^3}{12} + 4(2) \right) - \left( \frac{1^3}{12} + 4(1) \right)}$
   $\ar{m = \left( \frac{8}{12} + 8 \right) - \left( \frac{1}{12} + 4 \right)}$
   $\ar{m = \left( \frac{8 + 96}{12} \right) - \left( \frac{1 + 48}{12} \right)}$
   $\ar{m = \frac{104}{12} - \frac{49}{12} = \frac{55}{12}}$
4. تحويل الكسر إلى عدد كسري: $\ar{\frac{55}{12} = \frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة.

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 108)

الإجابة الصحيحة ($\ar{ \frac{1}{3}5}$)

1. تحديد حدود التكامل: المنطقة محصورة بين $\ar{x = 0}$ (محور الصادات) ونقطة تقاطع المنحنى مع محور السينات ($\ar{y = 0}$) في الجزء السالب من محور $\ar{x}$.
   $\ar{x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2}$.
   بما أننا في الربع الثالث، فإن $\ar{x}$ سالبة، إذن حدود التكامل من $\ar{x = -2}$ إلى $\ar{x = 0}$.
2. إعداد التكامل:
   المساحة = $\ar{\int_{-2}^{0} (x^2 - 4) \,dx}$
3. حساب التكامل:
   $\ar{= \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-2}^{0}}$
   $\ar{= (0 - 0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - 4(-2) \right)}$
   $\ar{= 0 - \left( \frac{-8}{3} + 8 \right) = - \left( \frac{16}{3} \right) = -\frac{16}{3}}$
4. إيجاد المساحة: بما أن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة، نأخذ القيمة المطلقة للناتج.
   المساحة = $\ar{\frac{16}{3} =  \frac{1}{3} 5}$ وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 107)

الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$​

المفهوم: استخدام التكامل المحدد المعكوس، حيث تكون المساحة معلومة وأحد حدود التكامل مجهول.​

2. خطوات الحل التفصيلية:

• بما أن $\ar{x \ge 1}$ فإن المنحنى يقع فوق محور السينات بالكامل؛ نصيغ قانون تكامل المساحة المحدد: $\ar{\int_1^a (x^3 - 1) dx = 2.75}$.
• نُجري عملية التكامل الكلاسيكية لحدود الحدود بالنسبة لـ $\ar{x}$: $\ar{[\frac{x^4}{4} - x]_1^a = 2.75}$.
• نُعوض بالحد الأعلى $\ar{a}$ مطروحاً منه تعويض الحد الأدنى $\ar{1}$: $\ar{(\frac{a^4}{4} - a) - (\frac{1}{4} - 1) = 2.75}$.
• نُبسط المعادلة العددية الناتجة ونحول الكسر العشري لكسر اعتيادي: $\ar{\frac{a^4}{4} - a + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}}$.
• نضرب المعادلة بالكامل في المقدار $\ar{4}$ للتخلص من المقامات وتصفير المعادلة: $\ar{a^4 - 4a + 3 = 11 \leftarrow a^4 - 4a - 8 = 0}$.
• نختبر قيم خيارات الإجابة المعطاة في السؤال لاستخراج الجذر الحقيقي للمعادلة، فنجد أن $\ar{a = 2}$ تحقق التوازن الصَفري: $\ar{16 - 8 - 8 = 0}$.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): تجربة خيارات الإجابة في المعادلة النهائية الناتجة عن التكامل أسرع وأضمن بكثير من محاولة حل معادلات من الدرجة الرابعة رياضياً.​

(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس :تمرين 5-ه، ص 136)​