1- عند ضرب عدد في محدد فإنه يضرب في جميع عناصر المحدد. شرح السؤال هذه خاصية مهمة تميز بين المحددات والمصفوفات. كيف يتم ضرب المحدد في عدد ثابت؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)هذه العبارة خاطئة وتصف طريقة ضرب المصفوفة في عدد ثابت، وليس المحدد.ضرب المحدد في عدد: عند ضرب محدد في عدد ثابت $\ar{k}$، فإننا نقوم بضرب عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد فقط في هذا العدد. نتيجة هذه العملية هي أن قيمة المحدد الجديد تساوي $\ar{k \times}$ قيمة المحدد الأصلي.ضرب المصفوفة في عدد: عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت، فإننا نضرب جميع عناصر المصفوفة في ذلك العدد.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 16)
2- عند ضرب المحدد في عدد $\ar{k}$ فإن الناتج = $\ar{k \times}$ قيمة المحدد. شرح السؤال ما هي الخاصية المتعلقة بضرب المحدد في عدد ثابت؟ هل يتم ضرب جميع العناصر في هذا العدد، أم يتم ضرب عناصر صف واحد أو عمود واحد فقط؟ وكيف يؤثر ذلك على القيمة النهائية للمحدد؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه العبارة تصف إحدى الخواص الأساسية للمحددات. عند ضرب محدد في عدد ثابت $\ar{k}$، فإننا نقوم بضرب عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد فقط في هذا العدد $\ar{k}$.نتيجة هذه العملية هي أن قيمة المحدد الجديد تساوي قيمة المحدد الأصلي مضروبة في $\ar{k}$.أمثلة توضيحية:مثال رمزي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc}$. إذا ضربنا الصف الأول في $\ar{k}$، نحصل على: $\ar{\begin{vmatrix} ka & kb \\ c & d \end{vmatrix} = (ka)d - (kb)c = k(ad - bc) = k \Delta}$.مثال عددي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$. قيمته هي $\ar{(3)(4) - (2)(5) = 12 - 10 = 2}$.لنضرب هذا المحدد في العدد $\ar{k=5}$ (بضرب الصف الأول في 5). المحدد الجديد هو $\ar{\begin{vmatrix} 15 & 10 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$.قيمته الجديدة هي $\ar{(15)(4) - (10)(5) = 60 - 50 = 10}$.نلاحظ أن القيمة الجديدة (10) تساوي $\ar{5 \times 2}$، أي $\ar{k \times \Delta}$.إذن، العبارة التي تنص على أن "الناتج = $\ar{k}$ × قيمة المحدد" هي عبارة صحيحة.تحدي إضافي: كيف يمكنك إثبات صحة هذه القاعدة لمحدد من الرتبة 3×3؟ (تلميح: حاول فك المحدد الجديد بعد ضرب أحد صفوفه في '$\ar{k}$' وقارن الناتج بقيمة المحدد الأصلي).(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 16)
3- إذا كانت $\ar{a}$ مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة وكان $\ar{|a| = k^2}$ فإن $\ar{|3a| = 8k^2}$. شرح السؤال ما هي خاصية المحدد عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت؟ تذكر أن $\ar{|m a| = m^n |a|}$، حيث $\ar{m}$ هو العدد الثابت و $\ar{n}$ هي رتبة المصفوفة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)نستخدم خاصية المحددات التي تنص على أنه إذا كانت $\ar{a}$ مصفوفة مربعة من الرتبة $\ar{n}$ و $\ar{m}$ عدد ثابت، فإن:$\ar{|m a| = m^n |a|}$في هذه المسألة:الثابت $\ar{m = 3}$.رتبة المصفوفة $\ar{n = 3}$ (لأنها من الرتبة الثالثة).قيمة المحدد $\ar{|a| = k^2}$.بالتعويض في القاعدة:$\ar{|3a| = 3^3 |a| = 27 |a|}$وبما أن $\ar{|a| = k^2}$، فإن:$\ar{|3a| = 27 k^2}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{8k^2}$، وهذا غير صحيح.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 34)
4- قيم $\ar{a}$ التي تجعل $\ar{\begin{vmatrix} a^2 & a & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 25 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0}$ تساوي شرح السؤال متى تكون قيمة المحدد تساوي صفراً؟ فكر في خاصية تساوي صفين أو عمودين. قارن الصف الأول بالصفين الثاني والثالث. -2 ، 5 2 ، 5 2 ، -5 -2 ، -5 الإجابة الصحيحة (-2 ، 5)من خواص المحددات، أن قيمة المحدد تساوي صفراً إذا تساوى صفان أو عمودان.الحالة الأولى: الصف الأول يساوي الصف الثاني.لمقارنة الصف الأول $\ar{(a^2, a, 1)}$ بالصف الثاني $\ar{(4, -2, 1)}$، يجب أن تكون العناصر المتناظرة متساوية:$\ar{a^2 = 4 \implies a = \pm 2}$$\ar{a = -2}$القيمة المشتركة التي تحقق الشرطين هي $\ar{a = -2}$.الحالة الثانية: الصف الأول يساوي الصف الثالث.نقارن الصف الأول $\ar{(a^2, a, 1)}$ بالصف الثالث $\ar{(25, 5, 1)}$:$\ar{a^2 = 25 \implies a = \pm 5}$$\ar{a = 5}$القيمة المشتركة التي تحقق الشرطين هي $\ar{a = 5}$.لذلك، القيم المطلوبة هي -2 و 5.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 15)
