الإجابة الصحيحة (صح)

هذه النتيجة هي إحدى النتائج القياسية والمهمة في حساب نهايات الدوال المثلثية. يمكن إثباتها بسهولة باستخدام المتطابقة $\ar{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}$.

1. $\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}}$
2. يمكننا فصل النهاية إلى جزأين: $\ar{= \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)}$
3. بما أن $\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$ و $\ar{\cos(0) = 1}$، فإن الناتج هو: $\ar{1 \times \frac{1}{1} = 1}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب هذه النهاية، يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال لأن التعويض المباشر يعطي $\ar{\frac{0}{0}}$.

باشتقاق البسط والمقام بالنسبة لـ $\ar{x}$، نحصل على:

$\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin 3x)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cos 3x}{\sin x}}$

الآن، ندرس النهاية من اليمين ومن اليسار:

• عندما تقترب $\ar{x}$ من الصفر من اليمين ($\ar{x \to 0^+}$)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة الموجبة. إذن، النهاية اليمنى هي $\ar{+\infty}$.
• عندما تقترب $\ar{x}$ من الصفر من اليسار ($\ar{x \to 0^-}$)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة السالبة. إذن، النهاية اليسرى هي $\ar{-\infty}$.

بما أن النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإن النهاية الكلية **غير موجودة**. وبالتالي، هي لا تساوي 2.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)

الإجابة الصحيحة (2)

بما أن التعويض المباشر بـ $\ar{v = 0}$ يعطي $\ar{\frac{0}{0}}$، نقوم بقسمة كل حد في البسط والمقام على $\ar{v}$.

$\ar{\lim_{v \to 0} \frac{\frac{v}{v} + \frac{9 \sin v}{v}}{\frac{4v}{v} + \frac{\tan v}{v}} = \lim_{v \to 0} \frac{1 + 9 \left( \frac{\sin v}{v} \right)}{4 + \left( \frac{\tan v}{v} \right)}}$

الآن نستخدم النهايات الأساسية المعروفة:

• $\ar{\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1}$
• $\ar{\lim_{v \to 0} \frac{\tan v}{v} = 1}$

بالتعويض بهذه القيم في النهاية:

$\ar{\frac{1 + 9(1)}{4 + 1} = \frac{10}{5} = 2}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)

الإجابة الصحيحة: خطأ​

المفهوم: القاعدة الأساسية للنهايات المثلثية تنص على أن $\ar{\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin\left(kx\right)}{kx} = 1}$. وعند رفع المقدار لأس معين، فإن النهاية كلها تُرفع لذلك الأس.​

خطوات الحل:

• يمكننا كتابة الدالة المعطاة بسحب الأس المشترك للخارج: $\ar{\lim \limits_{x \to 0} \left[ \frac{\sin\left(mx\right)}{mx} \right]^n}$.
• بما أن نهاية ما بداخل القوس تؤول إلى الواحد الصحيح بناءً على القاعدة المذكورة.
• إذن النهاية تساوي $\ar{\left(1\right)^n = 1}$.
• العبارة المعطاة تزعم أن الناتج يعطي الكسر $\ar{\frac{m}{n}}$، وهذا ادعاء خاطئ كلياً.​

⚠️ خطأ شائع: يظن الطالب أن الأس $n$ والمعامل $m$ سيشكلان النتيجة النهائية كالكسر المعطى، متجاهلاً أن تطابق زاوية الجيب مع المقام يلغي كل الثوابت ويجعل النهاية $1$.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): هذه النهاية المثلثية الشهيرة تعتبر المبرهنة الأولى والرئيسية التي يبنى عليها تفاضل الدوال المثلثية بالكامل في علم الرياضيات.​

(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-1: مفاهيم أساسية، ص 140)​