1- تسمى المصفوفة $\ar{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ مصفوفة وحدة. شرح السؤال ما هو تعريف مصفوفة الوحدة؟ ما هي قيم العناصر على القطر الرئيسي وبقية العناصر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) مصفوفة الوحدة Identity Matrix، التي يرمز لها بالرمز $\ar{I}$، هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1، وجميع العناصر الأخرى تساوي صفراً. مصفوفة الوحدة من النوع 2×2 هي: $\ar{I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$. المصفوفة المذكورة في السؤال $\ar{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ ليست مصفوفة وحدة لأن عناصر قطرها الرئيسي أصفار وعناصرها الأخرى هي 1. (الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 7-1: مفاهيم أساسية، صفحة 21)
2- إذا كانت مصفوفة $\ar{\begin{bmatrix} 7 & 20 - 2x \\ 3 - 6y & 15 \end{bmatrix}}$ مصفوفة قطرية فإن $\ar{x + 2y}$ تساوي شرح السؤال في المصفوفة القطرية، جميع العناصر خارج القطر الرئيسي تساوي صفراً. ساوِ هذه العناصر بالصفر لإيجاد قيم $\ar{x}$ و $\ar{y}$، ثم احسب المطلوب. 14 11 12 13 الإجابة الصحيحة ($\ar{11}$)المصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها خارج القطر الرئيسي أصفاراً.مساواة العنصر الأول بالصفر:$\ar{20 - 2x = 0 \implies 2x = 20 \implies x = 10}$.مساواة العنصر الثاني بالصفر:$\ar{3 - 6y = 0 \implies 6y = 3 \implies y = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$.حساب المطلوب:$\ar{x + 2y = 10 + 2(\frac{1}{2}) = 10 + 1 = 11}$.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 7-1: مفاهيم أساسية، صفحة 20)
3- إذا كانت $\ar{A}$ مصفوفة من رتبة $\ar{2 \times 2}$ حيث $\ar{a_{ij} = i - 2j}$ فإن $\ar{A = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: خريطة العناصر؛ استبدل رموز الصفوف $\ar{i}$ والأعمدة $\ar{j}$ بالأرقام من 1 إلى 2 لتعرف وتبني هوية كل رقم في المصفوفة خطوة بخطوة. $\ar{\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}$ $\ar{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ $\ar{\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}}$ $\ar{\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}}$ المفهوم: في بناء المصفوفات، يمثل الرمز $\ar{i}$ رقم الصف الذي يقبع فيه العنصر، بينما يمثل $\ar{j}$ رقم العمود. بالتعويض المباشر بهذه المواقع الجغرافية في الدالة المعطاة، نستخرج القيمة العددية الصافية لكل عنصر. خطوات الحل: نبدأ بالعنصر الأول في الصف 1 العمود 1: $\ar{a_{1,1} = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1}$. العنصر في الصف 1 العمود 2: $\ar{a_{1,2} = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3}$. العنصر في الصف 2 العمود 1: $\ar{a_{2,1} = 2 - 2(1) = 2 - 2 = 0}$. العنصر في الصف 2 العمود 2: $\ar{a_{2,2} = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2}$. بتجميع هذه العناصر المكتشفة، نحصل على المصفوفة المتكاملة: $\ar{\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}}$. 🧠 الحل بالاستبعاد: بحساب العنصر الأول فقط $\ar{a_{11}}$ الذي يقع في أعلى اليسار والمساوي للقيمة $\ar{-1}$، نستبعد فوراً الخيارات التي تبدأ بأرقام أخرى كالصفر أو الواحد الموجب. ثم بحساب العنصر السفلي الأيسر $\ar{a_{21}}$ والذي قيمته $\ar{0}$، نجد أن الخيار الرابع هو الوحيد المنسجم المتبقي، مما يختصر الوقت الثمين في الامتحان. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): إنشاء المصفوفات باستخدام الدوال الوصفية مثل ($a_{ij} = i - 2j$) هو حجر الأساس في البرمجة العلمية. في لغات مثل بايثون (باستخدام مكتبة NumPy)، تُستخدم هذه الطريقة لتوليد مصفوفات المرشحات (Kernels) التي تُطبق على الصور الرقمية للقيام بعمليات مثل "كشف الحواف"، "تنعيم الصورة"، أو "إزالة الضوضاء"، حيث تُبنى قيم هذه المصفوفات آلياً بناءً على معادلات رياضية. (الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-7: مفاهيم أساسية، ص 19)
4- إذا كانت $\ar{A = \begin{bmatrix} 6 & 8 - \frac{x}{2} \\ 9 - \frac{y}{3} & -3 \end{bmatrix}}$ مصفوفة قطرية فإن $\ar{x - y = -11}$ شرح السؤال 🎯 ماذا يطلب منا السؤال: تذكر تعريف المصفوفة القطرية؛ ماذا يجب أن تكون قيمة العناصر التي تقع خارج القطر الرئيسي؟ ساوِها بالصفر لتجد المجاهيل. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح✨ التوضيح: المصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها أصفاراً ما عدا عناصر القطر الرئيسي (التي قد تكون قيماً غير صفرية).خطوات الحل:بما أن المصفوفة قطرية، نساوي العناصر التي خارج القطر الرئيسي بالصفر.للعنصر العلوي الأيسر: $\ar{8 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = 8 \Rightarrow x = 16}$.للعنصر السفلي الأيمن: $\ar{9 - \frac{y}{3} = 0 \Rightarrow \frac{y}{3} = 9 \Rightarrow y = 27}$.نحسب المقدار المطلوب: $\ar{x - y = 16 - 27 = -11}$.إذن العبارة المعطاة صحيحة تماماً.🕵️♂️ الحل بالاستبعاد: بمجرد معرفة أن $\ar{y}$ ستكون قيمتها أكبر بكثير من $\ar{x}$ (لأنها تُقسم على 3 لتعطي 9، بينما $\ar{x}$ تُقسم على 2 لتعطي 8)، ندرك أن ناتج الطرح $\ar{x - y}$ لابد أن يكون سالباً، وهو ما يعزز ثقتنا في صحة العبارة.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-7: مفاهيم أساسية، ص 20)
