1- إذا كان $\ar{y = 3x^3 + ax^2}$ له نقطة حرجة عندما $\ar{x = -1}$ فإن قيمة $\ar{a = \frac{9}{2}}$ شرح السؤال النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى تساوي صفراً. أوجد المشتقة الأولى للدالة، ثم ساوِها بالصفر وعوض بقيمة $\ar{x}$ المعطاة لحل المعادلة وإيجاد قيمة $\ar{a}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)عند النقطة الحرجة، تكون قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً.إيجاد المشتقة الأولى:$\ar{\frac{dy}{dx} = 9x^2 + 2ax}$.التعويض بالقيم المعطاة:نعلم أن المشتقة تساوي صفراً عندما $\ar{x = -1}$.$\ar{0 = 9(-1)^2 + 2a(-1)}$حل المعادلة لإيجاد $\ar{a}$:$\ar{0 = 9(1) - 2a}$$\ar{2a = 9}$$\ar{a = \frac{9}{2}}$قيمة $\ar{a}$ التي حصلنا عليها مطابقة للقيمة المذكورة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
2- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال هذا السؤال يتعلق باختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة. ماذا تعني إشارة المشتقة الثانية؟ تذكر أن الإشارة السالبة تشير إلى أن المنحنى "مقعر لأسفل". صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):الشرط الأول $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$: يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).الشرط الثاني $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ (سالبة): يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)
3- ميل المنحنى عند النقطة المحلية يساوي صفراً. شرح السؤال ما هو التعريف الهندسي للنقطة المحلية (أو الحرجة)؟ فكر في شكل المماس للمنحنى عند هذه النقطة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه هي السمة الأساسية التي تُعرّف النقطة المحلية (الحرجة) على منحنى دالة قابلة للاشتقاق.عند النقطة المحلية، سواء كانت عظمى أو صغرى، فإن مماس المنحنى يكون أفقياً تماماً. والمستقيم الأفقي ميله يساوي صفراً. رياضياً، هذا يعني أن المشتقة الأولى للدالة $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، والتي تمثل دالة الميل، تساوي صفراً عند هذه النقطة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقط المحلية (الحرجة)، صفحة 82)
4- النقطة المحلية للمنحنى $\ar{y = x^2 - 2x - 2}$ هي $\ar{(1, -3)}$ شرح السؤال لإيجاد النقطة المحلية (أو الحرجة)، عليك إيجاد المشتقة الأولى للدالة ومساواتها بالصفر. قيمة ($\ar{x}$) التي تحصل عليها هي الإحداثي السيني للنقطة. كيف تجد الإحداثي الصادي؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لإيجاد النقاط المحلية، نتبع الخطوات التالية:إيجاد المشتقة الأولى (دالة الميل):$\ar{\frac{dy}{dx} = 2x - 2}$.مساواة المشتقة بالصفر لإيجاد النقط الحرجة:$\ar{2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1}$.إيجاد الإحداثي الصادي:نعوض بقيمة $\ar{x = 1}$ في معادلة المنحنى الأصلية:$\ar{y = (1)^2 - 2(1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3}$.إذن، النقطة المحلية هي $\ar{(1, -3)}$، وهو ما يتطابق مع العبارة في السؤال.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
