1- الدالة $\ar{y = x^4 - 1}$ لها نقطة انقلاب محلية. شرح السؤال لإيجاد نقطة الانقلاب، نحتاج إلى المشتقة الثانية. أوجد المشتقة الثانية وساوِها بالصفر. هل توجد قيمة حقيقية لـ $\ar{x}$ تحقق المعادلة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)نقطة الانقلاب تحدث عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية، وهذا يتطلب أن تكون المشتقة الثانية تساوي صفراً عند هذه النقطة.المشتقة الأولى: $\ar{\frac{dy}{dx} = 4x^3}$.المشتقة الثانية: $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2}$.البحث عن نقطة الانقلاب: نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً.$\ar{12x^2 = 0 \implies x = 0}$.فحص تغير الإشارة:عندما تكون $\ar{x < 0}$ (مثلاً $\ar{x = -1}$)، فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12(-1)^2 = 12}$ (موجبة).عندما تكون $\ar{x > 0}$ (مثلاً $\ar{x = 1}$)، فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12(1)^2 = 12}$ (موجبة).بما أن إشارة المشتقة الثانية لا تتغير حول $\ar{x = 0}$ (تبقى موجبة دائماً)، فإنه لا توجد نقطة انقلاب للدالة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 4-4: نقطة الانقلاب، صفحة 92)
2- النقاط المحلية العظمى والصغرى والانقلاب على منحنى الدالة $\ar{y = x^{3} - 48x + 25}$ هي : شرح السؤال 🔍 تأمل معي: اختبار المشتقات المتدرجة؛ المشتقة الأولى تمنحك القمم والقيعان الحساسة، بينما المشتقة الثانية تكشف لك بوضوح عن نقاط الانقلاب التي يتغير عندها اتجاه التقعر. عظمى $\ar{(-4, 153)}$ ، صغرى $\ar{(4, 103)}$ ، انقلاب $\ar{(0, -25)}$ عظمى $\ar{(4, 153)}$ ، صغرى $\ar{(-4, 103)}$ ، انقلاب $\ar{(-25, 0)}$ عظمى $\ar{(-4, 153)}$ ، صغرى $\ar{(4, 103)}$ ، انقلاب $\ar{(-25, 0)}$ عظمى $\ar{(-4, 153)}$ ، صغرى $\ar{(4, -103)}$ ، انقلاب $\ar{(0, 25)}$ الإجابة الصحيحة: عظمى $\ar{(-4, 153)}$ ، صغرى $\ar{(4, -103)}$ ، انقلاب $\ar{(0, 25)}$المفهوم: النقاط العظمى والصغرى تُستخرج من مساواة المشتقة الأولى بالصفر. بينما نقطة الانقلاب (حيث يتغير تقعر المنحنى) تُستخرج من مساواة المشتقة الثانية بالصفر.خطوات الحل:نشتق لإيجاد النقاط الحرجة: $\ar{y' = 3x^2 - 48 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 16) = 0 \Rightarrow x = \pm 4}$.نختبر بالمشتقة الثانية: $\ar{y'' = 6x}$. عند $\ar{x=-4}$ ينتج $\ar{-24}$ (إذن نقطة عظمى). وعند $\ar{x=4}$ ينتج $\ar{24}$ (إذن نقطة صغرى).لإيجاد نقطة الانقلاب نضع المشتقة الثانية صفراً: $\ar{6x = 0 \Rightarrow x = 0}$.نعوض بقيم $\ar{x}$ في الدالة الأصلية لاستخراج الإحداثيات:للنقطة العظمى: $\ar{y(-4) = (-4)^3 - 48(-4) + 25 = -64 + 192 + 25 = 153}$.للنقطة الصغرى: $\ar{y(4) = (4)^3 - 48(4) + 25 = 64 - 192 + 25 = -103}$.لنقطة الانقلاب: $\ar{y(0) = 0 - 0 + 25 = 25}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لعملية نقطة الانقلاب البسيطة للغاية ($\ar{6x=0}$)، نعلم أن إحداثيها السيني هو الصفر، وصاديها بالتعويض هو الثابت الحر المتبقي من الدالة ($\ar{25}$). الخيار الأخير هو الوحيد الذي يقدم نقطة الانقلاب الصحيحة والمستقرة $\ar{(0, 25)}$، مما يسمح لنا برفض الخيارات العشوائية الأخرى فوراً دون إكمال باقي الحسابات المرهقة للقمم.💡 إضاءة (اعرف أكثر): دراسة وملاحقة نقاط الانقلاب للدوال تُعتبر أساسية جداً في الديناميكا الهوائية لتحديد المواضع الحرجة التي تتغير فيها القوى الرافعة على أجنحة الطائرات أثناء التحليق السريع.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-4: نقطة الانقلاب، ص 83)
3- إذا كانت $\ar{y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1}$ فإن نقطة الانقلاب هي ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: نقطة الانقلاب تحدث عندما ينعدم التقعر ويتغير اتجاهه. اشتق الدالة مرتين وساوِ المشتقة الثانية بالصفر لإيجاد موقعها. $\ar{(1 , -10)}$ $\ar{(-1 , 3)}$ $\ar{(0 , 10)}$ $\ar{(-1 , -10)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{(1 , -10)}$✨ التوضيح: نقطة الانقلاب رياضياً هي النقطة التي يتغير عندها اتجاه تقعر المنحنى. وتُستخرج بمساواة المشتقة التفاضلية الثانية بالصفر $\ar{y'' = 0}$.خطوات الحل:نشتق الدالة الجبرية للمرة الأولى: $\ar{y' = 3x^2 - 6x - 9}$.نشتق للمرة الثانية: $\ar{y'' = 6x - 6}$.نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً: $\ar{6x - 6 = 0 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1}$.نعوض بقيمة الإحداثي السيني المستخرج $\ar{x=1}$ في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي الصادي.$\ar{y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 - 3 - 9 + 1 = -10}$.إذن إحداثيات نقطة الانقلاب هي الزوج المرتب $\ar{(1, -10)}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): دراسة وملاحقة نقاط الانقلاب للدوال تُعتبر أساسية جداً في الديناميكا الهوائية لتحديد المواضع الحرجة التي تتغير فيها القوى الرافعة على أجنحة الطائرات أثناء التحليق السريع.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-4: نقطة الانقلاب، ص 83)
