الإجابة الصحيحة (صح)

1. فحص تغير الاتجاه: نرى متى تكون السرعة صفراً: $\ar{9 - \frac{1}{4}n^2 = 0}$ يؤدي إلى $\ar{n^2 = 36}$، أي $\ar{n = 6}$. بما أن $\ar{n = 6}$ خارج الفترة $\ar{[2, 3]}$، فإن الجسم لا يغير اتجاهه، وبالتالي المسافة تساوي الإزاحة.
2. إعداد التكامل: المسافة ($\ar{\transt{}{ف}}$) هي تكامل السرعة ($\ar{z}$).
   $\ar{\transt{}{ف} = \int_{2}^{3} (9 - \frac{1}{4}n^2) \,dn}$
3. حساب التكامل:
   $\ar{\transt{}{ف} = \left[ 9n - \frac{n^3}{12} \right]_{2}^{3}}$
   $\ar{= \left( 9(3) - \frac{27}{12} \right) - \left( 9(2) - \frac{8}{12} \right)}$
   $\ar{= \left( 27 - \frac{9}{4} \right) - \left( 18 - \frac{2}{3} \right)}$
   $\ar{= \left( \frac{108 - 9}{4} \right) - \left( \frac{54 - 2}{3} \right) = \frac{99}{4} - \frac{52}{3}}$
   $\ar{= \frac{297 - 208}{12} = \frac{89}{12}}$

الناتج المحسوب يطابق القيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة ($\ar{4.5}$ م)

1. إيجاد زمن الوقوف اللحظي: نضع السرعة تساوي صفراً.
   $\ar{3n - n^2 = 0 \implies n(3 - n) = 0}$.
   الحلول هي $\ar{n = 0}$ (لحظة البداية) و $\ar{n = 3}$ (لحظة الوقوف).
2. حساب المسافة بالتكامل المحدود: المسافة هي تكامل السرعة من $\ar{n = 0}$ إلى $\ar{n = 3}$.
   $\ar{\transt{}{ف} = \int_{0}^{3} (3n - n^2) \,dn}$
3. إجراء التكامل:
   $\ar{\transt{}{ف} = \left[ \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{3}n^3 \right]_{0}^{3}}$
   $\ar{= \left( \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{1}{3}(3)^3 \right) - 0}$
   $\ar{= \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = 13.5 - 9 = 4.5}$ متر.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة (12)

1. إيجاد دالة السرعة ($\ar{v}$) بتكامل العجلة:
   $\ar{v(n) = \int (3n^2 - 2n) \,dn = \frac{3n^3}{3} - \frac{2n^2}{2} + \transt{}{ث} = n^3 - n^2 + \transt{}{ث}}$
2. إيجاد ثابت التكامل ($\ar{\transt{}{ث}}$):
   نعلم أن السرعة الابتدائية (عند $\ar{n = 0}$) هي 8 م/ث.
   $\ar{v(0) = 8 \implies (0)^3 - (0)^2 + \transt{}{ث} = 8 \implies \transt{}{ث} = 8}$.
   إذن، معادلة السرعة الكاملة هي $\ar{v(n) = n^3 - n^2 + 8}$.
3. حساب السرعة بعد 2 ثانية:
   نعوض بـ $\ar{n = 2}$ في معادلة السرعة.
   $\ar{v(2) = (2)^3 - (2)^2 + 8 = 8 - 4 + 8 = 12}$ م/ث.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{n^3}{3}}$)

1. الخطوة الأولى (من العجلة إلى السرعة):
   السرعة ($\ar{v}$) هي تكامل العجلة ($\ar{a}$).
   $\ar{v = \frac{d\transt{}{ف}}{dn} = \int 2n \,dn = n^2 + \transt{}{ث}_1}$.
   لدينا الشرط $\ar{\frac{d\transt{}{ف}}{dn} = 0}$ عندما $\ar{n = 0}$.
   $\ar{0 = (0)^2 + \transt{}{ث}_1 \implies \transt{}{ث}_1 = 0}$.
   إذن، معادلة السرعة هي $\ar{\frac{d\transt{}{ف}}{dn} = n^2}$.
2. الخطوة الثانية (من السرعة إلى المسافة):
   المسافة ($\ar{\transt{}{ف}}$) هي تكامل السرعة.
   $\ar{f = \int n^2 \,dn = \frac{n^3}{3} + \transt{}{ث}_2}$.
   لدينا الشرط $\ar{\transt{}{ف} = 0}$ عندما $\ar{n = 0}$.
   $\ar{0 = \frac{0^3}{3} + \transt{}{ث}_2 \implies \transt{}{ث}_2 = 0}$.
3. المعادلة النهائية للمسافة:
   إذن، $\ar{\transt{}{ف} = \frac{n^3}{3}}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)