1- عندما تدور المنطقة المظللة في الشكل التالي حول محور الصادات دورة كاملة فإن حجم الجسم الدوراني المتولد هو $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$. شرح السؤال ما هي الصيغة الصحيحة لحساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور الصادات؟ هل هي بدلالة $\ar{x^2}$ أم $\ar{y^2}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)الصيغة المذكورة في السؤال $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$ هي صيغة حساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور السينات.الصيغة الصحيحة لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{c}^{d} x^2 \,dy}$حيث تكون حدود التكامل $\ar{(c, d)}$ على محور الصادات، ويجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير $\ar{y}$.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
2- حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحاطة بمنحنى الدالة $\ar{y = x^2 + 2}$ حول محور السينات دورة كاملة والمستقيمان $\ar{x = 0}$، $\ar{x = 2}$ في الربع الأول هو $\ar{\frac{367}{15}\pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال استخدم صيغة الحجم الدوراني حول محور السينات. لا تنسَ تربيع الدالة ($\ar{y}$) قبل إجراء التكامل. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)صيغة الحجم: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$تربيع الدالة:$\ar{y^2 = (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4}$إعداد التكامل:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 4x^2 + 4) \,dx}$حساب التكامل:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{4x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2}}$$\ar{= \pi \left( \left( \frac{2^5}{5} + \frac{4(2)^3}{3} + 4(2) \right) - (0) \right)}$$\ar{= \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + 8 \right)}$$\ar{= \pi \left( \frac{96 + 160 + 120}{15} \right) = \frac{376}{15}\pi}$الناتج الصحيح هو $\ar{\frac{376}{15}\pi}$، بينما القيمة المذكورة في السؤال هي $\ar{\frac{367}{15}\pi}$. لذا، العبارة خاطئة.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
3- حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^3}$ ومحور الصادات والمستقيمان $\ar{y = 1}$، $\ar{y = 8}$ في الربع الأول حول محور ص دورة كاملة يساوي $\ar{ \frac{3}{5} 18 \pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال عندما يتم الدوران حول محور الصادات، ما هي صيغة حساب الحجم؟ تذكر أنه يجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير ($\ar{y}$) ثم إجراء التكامل بالنسبة لـ ($\ar{y}$). صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح) صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy}$ تجهيز الدالة: يجب التعبير عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$. من معادلة المنحنى $\ar{y = x^3}$، نجد أن $\ar{x = y^{\frac{1}{3}}}$. بتربيع الطرفين نحصل على $\ar{x^2 = y^{\frac{2}{3}}}$. حدود التكامل: الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمين $\ar{y = 1}$ و $\ar{y = 8}$، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 8. حساب التكامل: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{1}^{8} y^{\frac{2}{3}} \,dy}$ $\ar{\transt{}{ح} = \pi \left[ \frac{y^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8} = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8}}$ $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( 8^{\frac{5}{3}} - 1^{\frac{5}{3}} \right)}$ $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( (\sqrt[3]{8})^5 - 1 \right) = \frac{3\pi}{5} (2^5 - 1) = \frac{3\pi}{5} (32 - 1) = \frac{93\pi}{5}}$ مقارنة الناتج: $\ar{\frac{93}{5} = \frac{3}{5} 18}$. الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{ \frac{3}{5} 18 \pi}$) مطابق للقيمة المذكورة في السؤال. (الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
4- حجم الجسم الدوراني عندما تدور المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^2}$ والمستقيمات $\ar{x = 0}$، $\ar{y = 1}$، $\ar{y = 2}$ في الربع الأول حول محور (ص) دورة كاملة يساوي $\ar{\frac{3}{2} \pi}$ $\ar{\transt{}{وحدة مكعبة}}$. شرح السؤال عندما يتم الدوران حول محور الصادات، ما هي صيغة حساب الحجم؟ تذكر أنه يجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير ($\ar{y}$) ثم إجراء التكامل بالنسبة لـ ($\ar{y}$). صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي: $\ar{V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy}$تجهيز الدالة: يجب التعبير عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$. من معادلة المنحنى $\ar{y = x^2}$، نجد أن $\ar{x^2 = y}$.حدود التكامل: الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمين $\ar{y = 1}$ و $\ar{y = 2}$، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 2.حساب التكامل:$\ar{V = \pi \int_{1}^{2} y \,dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2}}$$\ar{V = \pi \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \pi}$الناتج مطابق للقيمة المعطاة في السؤال.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 122)
