الإجابة الصحيحة ($\ar{\cos(ax) + \transt{}{ث}}$)

1. إخراج الثابت:
   $\ar{-a \int \sin(ax) \,dx}$
2. تطبيق قاعدة التكامل:
   نعلم أن $\ar{\int \sin(ax) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)}$.
3. تجميع الناتج:
   $\ar{= -a \left( -\frac{1}{a} \cos(ax) \right) + \transt{}{ث}}$
   $\ar{= \cos(ax) + \transt{}{ث}}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس،...، صفحة 148)

الإجابة الصحيحة (0)

1. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \sin 2x}$
2. حساب قيمة التكامل المحدود:
   $\ar{\left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}}$
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin (2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin \left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) \right)}$
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin (2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin (\pi) \right)}$
3. التعويض بالقيم المثلثية: نعلم أن $\ar{\sin(2\pi) = 0}$ و $\ar{\sin(\pi) = 0}$.
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \times 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \times 0 \right) = 0}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس،...، صفحة 148)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\transt{}{صفر}}$)

1. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \sin 2x}$
2. حساب قيمة التكامل المحدود:
   $\ar{\left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}}$
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin(2 \times \frac{\pi}{2}) \right)}$
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin(\pi) \right)}$
3. التعويض بالقيم المثلثية: نعلم أن $\ar{\sin(2\pi) = 0}$ و $\ar{\sin(\pi) = 0}$.
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} \times 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \times 0 \right) = 0}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس، ...، صفحة 148)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{2}}$)

1. تبسيط المقدار: نستخدم متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام:
   $\ar{\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x}$.
2. إعادة كتابة التكامل: يصبح التكامل المطلوب هو:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \,dx}$
3. حساب التكامل: تكامل $\ar{\cos 2x}$ هو $\ar{\frac{1}{2} \sin 2x}$.
   $\ar{= \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}}$
4. التعويض بالحدود:
   = $\ar{\frac{1}{2} (\sin(2 \times \frac{\pi}{4}) - \sin(2 \times 0))}$
   = $\ar{\frac{1}{2} (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0))}$
   = $\ar{\frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}}$.

إذن، قيمة التكامل المحدود هي $\ar{\frac{1}{2}}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس...، صفحة 148)