الإجابة الصحيحة ($\ar{-\frac{5}{3} \cos^4 (\frac{1}{3} x) \sin (\frac{1}{3} x)}$)

نستخدم قاعدة السلسلة $\ar{\frac{d}{dx} [u^n] = n u^{n-1} u'}$.

1. الخطوة الأولى (مشتقة الأس):
   $\ar{5 \cos^4 (\frac{1}{3} x) \times \frac{d}{dx} [\cos (\frac{1}{3} x)]}$
2. الخطوة الثانية (مشتقة الدالة الداخلية):
   $\ar{\frac{d}{dx} [\cos (\frac{1}{3} x)] = -\sin (\frac{1}{3} x) \times \frac{1}{3}}$
3. تجميع الناتج:
   $\ar{5 \cos^4 (\frac{1}{3} x) \times \left(-\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{3} x)\right)}$
   $\ar{= -\frac{5}{3} \cos^4 (\frac{1}{3} x) \sin (\frac{1}{3} x)}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 10-6: مشتقات جاⁿس، جتاⁿس، صفحة 151)

الإجابة الصحيحة ($\ar{x + \frac{1}{2} \sin 2x + \transt{}{ث}}$)

نستخدم متطابقة ضعف الزاوية: $\ar{\cos 2x = 2\cos^2 x - 1}$، ومنها فإن $\ar{2\cos^2 x = \cos 2x + 1}$.

1. إعادة كتابة التكامل:
   $\ar{\int (\cos 2x + 1) \,dx}$
2. إجراء التكامل:
   $\ar{= \frac{1}{2} \sin 2x + x + \transt{}{ث}}$

بإعادة ترتيب الحدود، نحصل على $\ar{x + \frac{1}{2} \sin 2x + \transt{}{ث}}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، مثال 18، صفحة 153)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\pi}$)

1. تبسيط المقدار: من متطابقة ضعف الزاوية $\ar{\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x}$، يمكننا إعادة ترتيبها لنجد أن $\ar{\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}}$.
2. إعادة كتابة التكامل:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2(1 - \cos 2x) \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 - 2 \cos 2x) \,dx}$
3. إجراء التكامل:
   $\ar{= \left[ 2x - 2 \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ 2x - \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$
4. التعويض بالحدود:
   $\ar{= \left( 2(\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \times \frac{\pi}{2}) \right) - (2(0) - \sin(0))}$
   $\ar{= (\pi - \sin(\pi)) - (0 - 0)}$
   $\ar{= \pi - 0 = \pi}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، مثال 18، صفحة 153)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\cos 2x}$)

الطريقة الأولى (التبسيط أولاً):

1. نعلم من متطابقة ضعف الزاوية أن $\ar{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$.
2. إذن، $\ar{\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x}$.
3. الآن نشتق هذا المقدار المبسط:
   $\ar{\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \frac{1}{2} (\cos 2x \times 2) = \cos 2x}$.

الطريقة الثانية (قاعدة الضرب):

1. $\ar{(uv)' = u'v + uv'}$ حيث $\ar{u = \cos x}$ و $\ar{v = \sin x}$.
2. المشتقة $\ar{= (-\sin x)(\sin x) + (\cos x)(\cos x) = -\sin^2 x + \cos^2 x}$.
3. هذا المقدار هو إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهو يساوي $\ar{\cos 2x}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 10-6: مشتقات جاⁿس، جتاⁿس...، صفحة 151)