الإجابة الصحيحة (صح)

1. توزيع التكامل:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx}$
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\frac{x^2}{2} - (-\cos x) = \frac{x^2}{2} + \cos x}$
3. التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{= \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$
   $\ar{= \left( \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( \frac{0}{2} + \cos(0) \right)}$
   $\ar{= \left( \frac{\pi^2}{8} + 0 \right) - (0 + 1)}$
   $\ar{= \frac{\pi^2}{8} - 1}$

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد هذا التكامل، يجب أولاً استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية لتحويل $\ar{\tan^2 x}$ إلى صيغة قابلة للتكامل.

1. استخدام المتطابقة: نعلم أن $\ar{1 + \tan^2 x = \sec^2 x}$، ومنها فإن $\ar{\tan^2 x = \sec^2 x - 1}$.
2. إجراء التكامل:
   $\ar{\int \tan^2 x \,dx = \int (\sec^2 x - 1) \,dx}$
3. توزيع التكامل:
   $\ar{= \int \sec^2 x \,dx - \int 1 \,dx}$
4. حساب الناتج: نعلم أن تكامل $\ar{\sec^2 x}$ هو $\ar{\tan x}$، وتكامل 1 هو $\ar{x}$.
   الناتج النهائي هو $\ar{\tan x - x + \transt{}{ث}}$.

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\sec^2 x + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\sin x + \transt{}{ث}}$)

1. تبسيط المقدار: نعلم أن $\ar{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}$.
   إذن، $\ar{\cot x \sin x = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) \sin x = \cos x}$.
2. إجراء التكامل: الآن نكامل الدالة المبسطة.
   $\ar{\int \cos x \,dx = \sin x + \transt{}{ث}}$.

الناتج النهائي يتطابق مع الخيار الصحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\pi}{4} - 1}$)

1. تبسيط المقدار: نكامل كل حد على حدة. تكامل $\ar{1}$ هو $\ar{x}$، وتكامل $\ar{\sec^2 x}$ هو $\ar{\tan x}$.
2. حساب التكامل:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \sec^2 x) \,dx} = \ar{\left[ x - \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}}$.
3. التعويض بالحدود:
   = $\ar{\left( \frac{\pi}{4} - \tan(\frac{\pi}{4}) \right) - (0 - \tan(0))}$
   = $\ar{\left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - 1}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)