الإجابة الصحيحة هي (\(15.8 \, \mathrm{m/s}\)).

1. تحديد المعطيات:

• زاوية اللوح مع الحائط (الرأسي) = \(60^\circ\). إذن زاوية الميل مع الأفقي \(\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
• أقصى ارتفاع رأسي \(h = 7 \, \mathrm{m}\).
• معامل الاحتكاك \(\mu = \frac{1}{\sqrt{5}}\).

2. تطبيق مبدأ الشغل-الطاقة:الطاقة الابتدائية (عند القذف) = الطاقة النهائية (عند أقصى ارتفاع) + الشغل المبذول ضد الاحتكاك. \[ E_{initial} = E_{final} + W_{friction} \] \[ \frac{1}{2}mu^2 = mgh + f \cdot d \] حيث \(d\) هي المسافة المقطوعة على اللوح و \(f\) هي قوة الاحتكاك.
3. حساب \(d\) و \(f\):

• \(h = d \sin\theta \implies d = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{7}{0.5} = 14 \, \mathrm{m}\).
• \(f = \mu R = \mu (mg \cos\theta) = \frac{1}{\sqrt{5}} mg \cos 30^\circ\).

4. التعويض في المعادلة:\[ \frac{1}{2}mu^2 = mgh + (\frac{1}{\sqrt{5}} mg \cos 30^\circ) d \] نقسم على \(m\): \[ \frac{1}{2}u^2 = gh + \frac{g d \cos 30^\circ}{\sqrt{5}} \] \[ u^2 = 2g \left( h + \frac{d \cos 30^\circ}{\sqrt{5}} \right) \] \[ u^2 = 2(10) \left( 7 + \frac{14 \times (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{5}} \right) = 20 \left( 7 + \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \right) \] \[ u^2 = 20 \left( 7 + 7 \sqrt{\frac{3}{5}} \right) \approx 20(7 + 7 \times 0.7746) \approx 20(7 + 5.422) = 20(12.422) \approx 248.44 \] \[ u = \sqrt{248.44} \approx 15.76 \, \mathrm{m/s} \] أقرب إجابة هي (\(15.8 \, \mathrm{m/s}\)).

(الفصل السادس: طاقة الوضع، 6.6: تضمين القوى غير المحافظة في المعادلة، صفحة 94)

الإجابة الصحيحة هي (0.27).

الخطوة الأولى: تحديد المعطيات والزاوية
\(\cos\theta = 0.707 \implies \theta = 45^\circ\).
الارتفاع الرأسي \(h = 5.66 \, \mathrm{m}\). المسافة على المستوى \(d = h/\sin\theta = 5.66/\sin45^\circ \approx 8 \, \mathrm{m}\).

الخطوة الثانية: تطبيق نظرية الشغل-الطاقة

\[ E_{k,i} = E_{p,f} + W_f \]

\[ \frac{1}{2}mu^2 = mgh + (\mu mg\cos\theta)d \]

نقسم على \(m\):

\[ \frac{1}{2}u^2 = gh + \mu gd\cos\theta \]

\[ \frac{1}{2}(12)^2 = 10(5.66) + \mu(10)(8)\cos(45^\circ) \]

\[ 72 = 56.6 + \mu(80)(0.707) \approx 56.6 + 56.56\mu \]

\[ 15.4 = 56.56\mu \implies \mu = \frac{15.4}{56.56} \approx 0.272 \]

(الفصل السادس: طاقة الوضع، 6.6: تضمين القوى غير المحافظة في المعادلة، صفحة 94)

الإجابة الصحيحة هي (\(47.5 \, \mathrm{m}\)).

نطبق مبدأ الشغل-الطاقة، حيث أن الطاقة الابتدائية (طاقة وضع) تساوي مجموع الطاقة النهائية (طاقة حركة) والشغل المفقود بسبب الاحتكاك.

\[ E_{p, \text{initial}} = E_{k, \text{final}} + W_{\text{friction}} \]

نعوض بالصيغ الفيزيائية:

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + f \cdot d \]

حيث \(h\) هو الارتفاع المطلوب و \(d\) هي المسافة على طول المنحدر. نعلم أن \(d = \frac{h}{\sin(52^\circ)}\).
نعوض بقيمة الاحتكاك المعطاة \(f = 2.7m\):

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + (2.7m) \left(\frac{h}{\sin(52^\circ)}\right) \]

نلاحظ أن الكتلة \(m\) موجودة في كل حد، لذا يمكننا قسمة المعادلة كلها على \(m\):

\[ gh = \frac{1}{2}v^2 + \frac{2.7h}{\sin(52^\circ)} \]

الآن نعيد ترتيب المعادلة لعزل \(h\):

\[ gh - \frac{2.7h}{\sin(52^\circ)} = \frac{1}{2}v^2 \]

\[ h \left(g - \frac{2.7}{\sin(52^\circ)}\right) = \frac{1}{2}v^2 \]

نعوض بالقيم العددية (\(g=10, v=25, \sin(52^\circ) \approx 0.788\)):

\[ h \left(10 - \frac{2.7}{0.788}\right) = \frac{1}{2}(25)^2 \]

\[ h (10 - 3.426) = \frac{625}{2} \]

\[ h (6.574) = 312.5 \]

\[ h = \frac{312.5}{6.574} \approx 47.53 \, \mathrm{m} \]

أقرب إجابة هي (\(47.5 \, \mathrm{m}\)).

مفهوم:

هذا السؤال يوضح كيف يمكن حل المسائل حتى مع وجود مجاهيل (مثل الكتلة)، إذا كانت هذه المجاهيل تظهر في كل حدود المعادلة الأساسية (مثل معادلة الطاقة هنا)، مما يسمح باختصارها.

(الفصل السادس: طاقة الوضع، 6.6: تضمين القوى غير المحافظة في المعادلة، صفحة 94)

الإجابة الصحيحة هي (\(2.75 \, \mathrm{J}\)).

نطبق مبدأ الشغل-الطاقة:

\[ E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} + W_{\text{against friction}} \]

• الطاقة الابتدائية (عند النقطة 1):الجسم يبدأ من السكون، لذا طاقته هي طاقة وضع فقط.

  \[ E_{\text{initial}} = E_p = mgh = 0.5 \times 10 \times 1 = 5 \, \mathrm{J} \]

• الطاقة النهائية (عند النقطة 2):الجسم عند ارتفاع صفر، لذا طاقته هي طاقة حركة فقط.

  \[ E_{\text{final}} = E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(0.5)(3)^2 = 0.25 \times 9 = 2.25 \, \mathrm{J} \]

بالتعويض في المعادلة:

\[ 5 = 2.25 + W_{\text{against friction}} \]

\[ W_{\text{against friction}} = 5 - 2.25 = 2.75 \, \mathrm{J} \]

(الفصل السادس: طاقة الوضع، 6.6: تضمين القوى غير المحافظة في المعادلة، صفحة 94)