الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{l^2 + 4l + 4}{l^2 - 2l + 1}}$

لإيجاد خارج قسمة الكسرين، نحول عملية القسمة إلى ضرب في مقلوب الكسر الثاني:

$\ar{\frac{l^2 - 4}{l^2 + l - 2} \times \frac{l^2 + 4l + 4}{l^2 - 3l + 2}}$

الخطوة 1: تحليل كل بسط ومقام.

• $\ar{l^2 - 4 = (l - 2)(l + 2)}$
• $\ar{l^2 + l - 2 = (l + 2)(l - 1)}$
• $\ar{l^2 + 4l + 4 = (l + 2)^2 = (l + 2)(l + 2)}$
• $\ar{l^2 - 3l + 2 = (l - 1)(l - 2)}$

الخطوة 2: إعادة كتابة التعبير بعد التحليل.

$\ar{\frac{(l - 2)(l + 2)}{(l + 2)(l - 1)} \times \frac{(l + 2)(l + 2)}{(l - 1)(l - 2)}}$

الخطوة 3: اختصار العوامل المشتركة.

نلاحظ أن $\ar{(l - 2)}$ في بسط الكسر الأول يختصر مع $\ar{(l - 2)}$ في مقام الكسر الثاني.
ونلاحظ أن $\ar{(l + 2)}$ في بسط الكسر الأول يختصر مع $\ar{(l + 2)}$ في مقام الكسر الأول.

ما يتبقى هو:

$\ar{\frac{1}{l - 1} \times \frac{(l + 2)(l + 2)}{l - 1}}$

الخطوة 4: كتابة الناتج النهائي.

الناتج هو:

$\ar{\frac{(l + 2)^2}{(l - 1)^2}}$

الآن نفك الأقواس في البسط والمقام لمقارنتها بالخيار (أ):

$\ar{(l + 2)^2 = l^2 + 4l + 4}$

$\ar{(l - 1)^2 = l^2 - 2l + 1}$

إذن، الناتج هو:

$\ar{\frac{l^2 + 4l + 4}{l^2 - 2l + 1}}$

هذا يتطابق مع الخيار (أ).

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

الخيارات (ب)، (ج)، (د) تنتج عن أخطاء في التحليل أو الاختصار أو عدم إكمال عملية الضرب والقسمة بشكل صحيح.

للتفكير: ما هي القيم التي تجعل المقامات الأصلية تساوي صفرًا والتي يجب استثناؤها من مجال المتغير "$\ar{l}$"؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 4-2 ضرب وقسمة الكسور الجبرية، صفحة 40. هذا السؤال يتطلب تطبيق جميع مهارات تحليل المقادير الجبرية ثم إجراء عملية قسمة الكسور.)

الإجابة الصحيحة: 1

التعبير المعطى هو:

$\ar{\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} \times \frac{x}{x^2 + x}}$

الخطوة 1: تحليل المقادير.

• البسط الأول: $\ar{x^2 + 2x + 1}$. هذا مقدار ثلاثي مربع كامل، ويمكن تحليله إلى $\ar{(x + 1)^2}$ أو $\ar{(x + 1)(x + 1)}$.
• المقام الأول: $\ar{x + 1}$ (لا يحتاج إلى تحليل).
• البسط الثاني: $\ar{x}$ (لا يحتاج إلى تحليل).
• المقام الثاني: $\ar{x^2 + x}$. يمكن أخذ "$\ar{x}$" كعامل مشترك: $\ar{x(x + 1)}$.

الخطوة 2: إعادة كتابة التعبير بعد التحليل.

$\ar{\frac{(x + 1)(x + 1)}{x + 1} \times \frac{x}{x(x + 1)}}$

الخطوة 3: إجراء عملية الضرب والاختصار.

يمكننا اختصار العوامل المشتركة قبل أو بعد الضرب. لنقم بالاختصار الآن:

• في الكسر الأول: $\ar{(x + 1)}$ في البسط يختصر مع $\ar{(x + 1)}$ في المقام. يتبقى $\ar{(x + 1)}$ في البسط.
• في الكسر الثاني: "$\ar{x}$" في البسط تختصر مع "$\ar{x}$" في المقام. يتبقى 1 في البسط و $\ar{(x + 1)}$ في المقام.

يصبح التعبير:

$\ar{(x + 1) \times \frac{1}{x + 1}}$

الآن نضرب:

$\ar{\frac{x + 1}{x + 1}}$

بما أن $\ar{\frac{x + 1}{x + 1} = 1}$ (بشرط أن $\ar{x \neq -1}$)، فإن الناتج النهائي هو 1.

هذا يتطابق مع الخيار (أ).

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

الخيارات الأخرى تنتج عن أخطاء في التحليل أو الاختصار.

للتفكير: ما هي قيم "$\ar{x}$" التي يجب استثناؤها من المجال ليكون هذا التعبير معرفًا؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 4-2 ضرب وقسمة الكسور الجبرية، صفحة 40. هذا السؤال يتطلب تحليل المقادير الجبرية ثم إجراء عملية ضرب الكسور واختصارها.)

الإجابة الصحيحة: 1

لإيجاد خارج قسمة الكسرين، نحول عملية القسمة إلى ضرب في مقلوب الكسر الثاني:

$\ar{\frac{y^2 - 4y + 3}{y^2 - 1} \times \frac{y + 1}{y - 3}}$

الخطوة 1: تحليل كل بسط ومقام.

• $\ar{y^2 - 4y + 3}$: نبحث عن عددين حاصل ضربهما 3 ومجموعهما -4. العددان هما -1 و -3. إذن، $\ar{y^2 - 4y + 3 = (y - 1)(y - 3)}$.
• $\ar{y^2 - 1}$: هذا فرق بين مربعين $\ar{(y^2 - 1^2)}$. تحليله هو $\ar{(y - 1)(y + 1)}$.
• $\ar{y + 1}$: لا يحتاج إلى تحليل.
• $\ar{y - 3}$: لا يحتاج إلى تحليل.

الخطوة 2: إعادة كتابة التعبير بعد التحليل.

$\ar{\frac{(y - 1)(y - 3)}{(y - 1)(y + 1)} \times \frac{(y + 1)}{(y - 3)}}$

الخطوة 3: اختصار العوامل المشتركة.

• $\ar{(y - 1)}$ في بسط الكسر الأول يختصر مع $\ar{(y - 1)}$ في مقامه.
• $\ar{(y - 3)}$ في بسط الكسر الأول يختصر مع $\ar{(y - 3)}$ في مقام الكسر الثاني.
• $\ar{(y + 1)}$ في مقام الكسر الأول يختصر مع $\ar{(y + 1)}$ في بسط الكسر الثاني.

بعد كل هذه الاختصارات، كل العوامل تصبح 1.

الناتج = $\ar{\frac{1 \times 1}{1 \times 1} = \frac{1}{1} = 1}$.

هذا يتطابق مع الخيار (ب).

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

الخيارات الأخرى تنتج عن أخطاء في التحليل أو عدم اختصار جميع العوامل المشتركة بشكل صحيح.

للتفكير: ما هي قيم "$\ar{y}$" التي تجعل المقامات الأصلية أو المقامات بعد التحليل تساوي صفرًا والتي يجب استثناؤها من مجال المتغير "$\ar{y}$"؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 4-2 ضرب وقسمة الكسور الجبرية، صفحة 40. هذا السؤال يتطلب تطبيق جميع مهارات تحليل المقادير الجبرية ثم إجراء عملية قسمة الكسور واختصارها.)

الإجابة الصحيحة:

$\ar{\frac{1}{y}}$

التعبير المعطى هو:

$\ar{\frac{xy - y^2}{x^2 - y^2} \times \frac{x + y}{y^2}}$

الخطوة 1: تحليل المقادير.

• البسط الأول: $\ar{xy - y^2 = y(x - y)}$ (بإخراج العامل المشترك $\ar{y}$).
• المقام الأول: $\ar{x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)}$ (فرق بين مربعين).
• البسط الثاني: $\ar{x + y}$ (لا يحتاج إلى تحليل).
• المقام الثاني: $\ar{y^2}$ (يمكن كتابته كـ $\ar{y \times y}$).

الخطوة 2: إعادة كتابة التعبير بعد التحليل.

$\ar{\frac{y(x - y)}{(x - y)(x + y)} \times \frac{(x + y)}{y \times y}}$

الخطوة 3: إجراء عملية الضرب والاختصار.

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ثم نختصر:

$\ar{\frac{y(x - y)(x + y)}{(x - y)(x + y)(y \times y)}}$

الآن نقوم بالاختصارات:

• $\ar{(x - y)}$ في البسط يختصر مع $\ar{(x - y)}$ في المقام.
• $\ar{(x + y)}$ في البسط يختصر مع $\ar{(x + y)}$ في المقام.
• "$\ar{y}$" واحدة في البسط تختصر مع "$\ar{y}$" واحدة من $\ar{(y \times y)}$ في المقام.

ما يتبقى هو:

$\ar{\frac{1}{y}}$

هذا يتطابق مع الخيار (أ).

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

• ب) $\ar{y}$: هذا يحدث إذا تم اختصار جميع الحدود في المقام وبقيت "$\ar{y}$" في البسط، وهو عكس ما حدث.
• ج) 1: هذا يحدث إذا تم اختصار جميع الحدود في البسط والمقام بشكل كامل، ولكن يتبقى "$\ar{y}$" في المقام.
• د) جميع الإجابات السابقة خاطئة: بما أن الخيار (أ) صحيح، فهذا الخيار خاطئ.

للتفكير: ما هي قيم "$\ar{x}$" و "$\ar{y}$" التي يجب استثناؤها من المجال ليكون هذا التعبير معرفًا؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 4-2 ضرب وقسمة الكسور الجبرية، صفحة 40. هذا السؤال يتطلب تحليل المقادير الجبرية ثم إجراء عملية ضرب الكسور واختصارها.)