الإجابة الصحيحة: صح.

لنتحقق من اختصار الكسر المعطى:

$\ar{\frac{5x + 15y}{x^2 + 6xy + 9y^2}}$

1. تحليل البسط:

البسط هو $\ar{5x + 15y}$. العامل المشترك الأكبر بين الحدين هو 5.

$\ar{5x + 15y = 5(x + 3y)}$

2. تحليل المقام:

المقام هو $\ar{x^2 + 6xy + 9y^2}$.

نلاحظ أن هذا المقدار هو مقدار ثلاثي مربع كامل، حيث:

• الحد الأول $\ar{(x^2)}$ هو مربع $\ar{(x)}$.
• الحد الثالث $\ar{(9y^2)}$ هو مربع $\ar{(3y)}$.
• الحد الأوسط $\ar{(6xy)}$ هو ضعف حاصل ضرب جذر الحد الأول وجذر الحد الثالث: $\ar{2 \times x \times 3y = 6xy}$.

إذن، تحليل المقام هو: $\ar{(x + 3y)^2}$، والذي يمكن كتابته كـ $\ar{(x + 3y)(x + 3y)}$.

3. كتابة الكسر بعد التحليل:

$\ar{\frac{5(x + 3y)}{(x + 3y)(x + 3y)}}$

4. اختصار العوامل المشتركة:

نلاحظ أن العامل $\ar{(x + 3y)}$ مشترك بين البسط والمقام. نقوم باختصاره (بشرط أن $\ar{x + 3y \neq 0}$).

يتبقى لدينا:

$\ar{\frac{5}{x + 3y}}$

هذا الناتج يتطابق تمامًا مع الكسر المعطى في الطرف الأيسر من السؤال.

إذن، العبارة المعطاة في السؤال صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير: ماذا لو كان المقام $\ar{x^2 - 6xy + 9y^2}$؟ كيف سيتغير التحليل والاختصار؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 3-2 تبسيط الكسور الجبرية التي تتضمن عمليات تحليل إضافية، صفحة 38. هذا السؤال يتطلب تحليل البسط بإخراج العامل المشترك وتحليل المقام كمربع كامل.)

الإجابة الصحيحة: 4

لإيجاد قيمة "$\ar{m}$"، سنقوم بتحليل الكسر الأصلي ونقارنه بالصورة المبسطة المعطاة.

الكسر الأصلي هو:

$\ar{\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - m}}$

1. تحليل البسط: $\ar{x^2 - 6x + 8}$

نبحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما -6. العددان هما -2 و -4.

إذن، $\ar{x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)}$.

2. كتابة الكسر الأصلي بعد تحليل البسط:

$\ar{\frac{(x - 2)(x - 4)}{x^2 - m}}$

معطى أن أبسط صورة لهذا الكسر هي:

$\ar{\frac{x - 4}{x + 2}}$

لكي نحصل على هذه الصورة المبسطة، يجب أن يتم اختصار العامل $\ar{(x - 2)}$ من البسط مع عامل مكافئ له في المقام، ويجب أن يكون العامل المتبقي في المقام هو $\ar{(x + 2)}$.

هذا يعني أن المقام الأصلي، $\ar{x^2 - m}$، يجب أن يكون حاصل ضرب العامل الذي تم اختصاره $\ar{(x - 2)}$ والعامل المتبقي في مقام الصورة المبسطة $\ar{(x + 2)}$.

إذن: $\ar{x^2 - m = (x - 2)(x + 2)}$

الطرف الأيمن $\ar{(x - 2)(x + 2)}$ هو فرق بين مربعين، ويساوي $\ar{x^2 - 2^2 = x^2 - 4}$.

الآن نقارن: $\ar{x^2 - m = x^2 - 4}$

بمقارنة الطرفين، نجد أن: $\ar{-m = -4}$

وبالتالي، $\ar{m = 4}$.

للتفكير: إذا كانت أبسط صورة للكسر $\ar{\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - m}}$ هي $\ar{\frac{x + 1}{x - 3}}$، فما قيمة "$\ar{m}$"؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة. يتطلب هذا السؤال تحليل البسط أولاً، ثم استخدام الصورة المبسطة المعطاة لاستنتاج تحليل المقام وقيمة المجهول $\ar{m}$.)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{y - 1}{y + 1}}$).

الكسر المعطى هو: $\ar{\frac{y^2 - 2y + 1}{y^2 - 1}}$

1. تحليل البسط:

$\ar{y^2 - 2y + 1}$ هو مربع كامل، ويمكن تحليله إلى $\ar{(y - 1)^2}$ أو $\ar{(y - 1)(y - 1)}$.

2. تحليل المقام:

$\ar{y^2 - 1}$ هو فرق بين مربعين $\ar{(y^2 - 1^2)}$، ويمكن تحليله إلى $\ar{(y - 1)(y + 1)}$.

3. كتابة الكسر بالعوامل واختصارها:

$\ar{\frac{(y - 1)(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)}}$

بافتراض أن $\ar{y \neq 1}$ و $\ar{y \neq -1}$، يمكننا اختصار العامل المشترك $\ar{(y - 1)}$:

$\ar{= \frac{y - 1}{y + 1}}$

تطبيق: اختصر الكسر $\ar{\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}}$.

(الفصل 2 الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-3 تبسيط الكسور الجبرية التي تتضمن عمليات تحليل إضافية، صفحة 38)

الإجابة الصحيحة هي $\ar{\frac{y - 5}{y - 2}}$.

1. تحليل البسط (فرق بين مربعين): $\ar{y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)}$.
2. تحليل المقام (مقدار ثلاثي): $\ar{y^2 + 3y - 10 = (y + 5)(y - 2)}$.
3. يصبح الكسر: $\ar{\frac{(y - 5)(y + 5)}{(y + 5)(y - 2)}}$.
4. باختصار العامل المشترك $\ar{(y + 5)}$ من البسط والمقام، نحصل على: $\ar{\frac{y - 5}{y - 2}}$.