1- $\ar{\frac{a + b}{a} - \frac{b - a}{a}}$ في أبسط صورة $\ar{= \dots\dots}$ شرح السؤال بما أن الكسرين لهما نفس المقام ("$\ar{a}$")، يمكنك مباشرة طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول. البسط الجديد سيكون: $\ar{(a + b) - (b - a)}$. انتبه جيدًا عند فك القوس الثاني المسبوق بإشارة سالبة، حيث ستتغير إشارات الحدود بداخله. بعد تبسيط البسط، اكتب الكسر الناتج مع المقام المشترك "$\ar{a}$". هل يمكن اختصار شيء ما؟ صفر $\ar{\frac{a - b}{2a}}$ 2 $\ar{\frac{2a + b}{a}}$ الإجابة الصحيحة: 2 التعبير المعطى هو: $\ar{\frac{a + b}{a} - \frac{b - a}{a}}$ الخطوة 1: المقامات موحدة. نلاحظ أن كلا الكسرين لهما نفس المقام، وهو "$\ar{a}$". الخطوة 2: طرح البسوط. نطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ونضع الناتج فوق المقام المشترك "$\ar{a}$": $\ar{\frac{(a + b) - (b - a)}{a}}$ الخطوة 3: تبسيط البسط. نفك القوس الثاني مع الانتباه إلى أن الإشارة السالبة قبله تغير إشارات الحدود بداخله: $\ar{a + b - b + a}$ نجمع الحدود المتشابهة: $\ar{(a + a) + (b - b) = 2a + 0 = 2a}$ الخطوة 4: كتابة الكسر في أبسط صورة. الآن الكسر يصبح: $\ar{\frac{2a}{a}}$ بافتراض أن $\ar{a \neq 0}$، يمكننا اختصار "$\ar{a}$" من البسط والمقام. الناتج النهائي هو: 2 هذا يتطابق مع الخيار (ج). لماذا الخيارات الأخرى خاطئة: أ) صفر: هذا يحدث إذا كان البسط يساوي صفرًا بعد التبسيط، وهو ليس الحال هنا. ب) $\ar{\frac{a - b}{2a}}$: هذا ناتج عن خطأ في عملية الطرح أو التبسيط. د) $\ar{\frac{2a + b}{a}}$: هذا ينتج عن خطأ في فك الأقواس أو جمع الحدود المتشابهة. للتفكير: ماذا لو كانت العملية بين الكسرين هي عملية جمع بدلاً من الطرح؟ ما هو الناتج؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 5-2 جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات العددية، صفحة 42. على الرغم من أن المقامات هنا جبرية، إلا أن مبدأ توحيد المقامات (وهي موحدة بالفعل هنا) وطرح البسوط هو نفسه.)
2- اختصار $\ar{\frac{2h + 1}{3} - \frac{h - 1}{2} = \dots\dots}$ شرح السؤال إيجاد المقام المشترك الأصغر: المقامات هي 3 و 2. المقام المشترك الأصغر لهما هو 6. توحيد المقامات: للكسر الأول (الذي مقامه 3)، اضرب البسط $\ar{(2h + 1)}$ والمقام في 2. للكسر الثاني (الذي مقامه 2)، اضرب البسط $\ar{(h - 1)}$ والمقام في 3. طرح البسوط الجديدة: بعد توحيد المقامات، اطرح بسط الكسر الثاني الجديد من بسط الكسر الأول الجديد. فك الأقواس بحذر: انتبه عند فك الأقواس، خاصة القوس المسبوق بإشارة سالبة (ستتغير إشارة "-1" إلى "+1" عند فك القوس). تجميع الحدود المتشابهة في البسط الناتج. اكتب الناتج ككسر وحيد مع المقام المشترك (6). $\ar{\frac{h + 5}{6}}$ $\ar{\frac{h + 1}{6}}$ $\ar{\frac{h + 2}{5}}$ $\ar{\frac{2h + 1}{3}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{h + 5}{6}}$ التعبير المعطى هو (بافتراض أن البسط الثاني هو $\ar{h - 1}$ ليطابق الخيار أ): $\ar{\frac{2h + 1}{3} - \frac{h - 1}{2}}$ الخطوة 1: إيجاد المقام المشترك الأصغر. المقام المشترك الأصغر للعددين 3 و 2 هو 6. الخطوة 2: توحيد المقامات. الكسر الأول: نضرب البسط والمقام في 2: $\ar{\frac{2(2h + 1)}{2 \times 3} = \frac{4h + 2}{6}}$ الكسر الثاني: نضرب البسط والمقام في 3: $\ar{\frac{3(h - 1)}{3 \times 2} = \frac{3h - 3}{6}}$ الخطوة 3: طرح البسوط الجديدة. يصبح التعبير: $\ar{\frac{(4h + 2) - (3h - 3)}{6}}$ الخطوة 4: تبسيط البسط. نفك القوس الثاني مع تغيير إشارات الحدود بداخله: $\ar{4h + 2 - 3h + 3}$ نجمع الحدود المتشابهة: $\ar{(4h - 3h) + (2 + 3) = h + 5}$ الخطوة 5: كتابة الكسر في أبسط صورة. الآن الكسر يصبح: $\ar{\frac{h + 5}{6}}$ هذا يتطابق مع الخيار (أ). لماذا الخيارات الأخرى خاطئة: ب) $\ar{\frac{h + 1}{6}}$: ينتج عن خطأ في جمع أو طرح الثوابت في البسط. ج) $\ar{\frac{h + 2}{5}}$: المقام يجب أن يكون 6، والبسط غير صحيح. د) $\ar{\frac{2h + 1}{3}}$: هذا هو الكسر الأول الأصلي، دون إجراء عملية الطرح. للتفكير: ماذا لو كانت العملية بين الكسرين هي جمع بدلاً من الطرح؟ ما هو الناتج؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 5-2 جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات العددية، صفحة 42.)
3- اختصار: $\ar{\frac{k - 3}{2} - \frac{k - 2}{3} = \dots\dots}$ شرح السؤال وحّد المقامات (المضاعف المشترك الأصغر لـ 2 و 3 هو 6)، ثم اطرح البسوط. $\ar{\frac{k - 13}{6}}$ $\ar{\frac{k - 5}{6}}$ $\ar{\frac{-1}{5}}$ $\ar{\frac{5k - 13}{6}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{k - 5}{6}}$).$\ar{\frac{3(k - 3) - 2(k - 2)}{6} = \frac{3k - 9 - (2k - 4)}{6} = \frac{3k - 9 - 2k + 4}{6} = \frac{k - 5}{6}}$.(الفصل الثاني: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-5: جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات العددية، صفحة 42)
4- م.م.أ للحدود $\ar{(x - 1)}$ ، $\ar{2(x + 1)}$ ، $\ar{(x - 1)^2}$ هو $\ar{\dots\dots}$ شرح السؤال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) لمجموعة من الحدود الجبرية، نأخذ كل عامل مشترك وغير مشترك بأعلى أس يظهر به في أي من الحدود، ونضرب هذه العوامل معاً. لا تنسَ المعاملات العددية. $\ar{(x - 1)}$ $\ar{(x - 1)(x + 1)}$ $\ar{(x - 1)^2(x + 1)^2}$ $\ar{2(x - 1)^2(x + 1)}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{2(x - 1)^2(x + 1)}$).الحدود المعطاة هي:الحد الأول: $\ar{(x - 1)}$الحد الثاني: $\ar{2(x + 1)}$الحد الثالث: $\ar{(x - 1)^2}$لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ):العوامل العددية: المعامل العددي الوحيد الظاهر هو 2 (من الحد الثاني). إذن، م.م.أ للمعاملات العددية هو 2.العوامل الجبرية:العامل $\ar{(x - 1)}$: يظهر بالأس 1 في الحد الأول، وبالأس 2 في الحد الثالث. نأخذ أعلى أس، وهو $\ar{(x - 1)^2}$.العامل $\ar{(x + 1)}$: يظهر بالأس 1 في الحد الثاني فقط. نأخذ أعلى أس، وهو $\ar{(x + 1)}$.إذن، م.م.أ للحدود الثلاثة هو حاصل ضرب هذه العوامل: $\ar{2(x - 1)^2(x + 1)}$.تطبيق: أوجد م.م.أ للحدود: $\ar{3x^2(x + 2)}$، $\ar{6x(x + 2)^3}$، $\ar{9(x - 3)}$.(الفصل 1 إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، المفهوم العام للعوامل والمضاعفات. يمكن الرجوع إلى مفهوم المقامات المشتركة في الكسور الجبرية، الفصل 2، الدرس 2-6، صفحة 46)
