1- المقدار الجبري $\ar{4x^2 + 28x + k}$ يكون مربع كامل عندما $\ar{k=\dots\dots}$ شرح السؤال لكي يكون المقدار الثلاثي مربعًا كاملاً يجب أن تتحقق الشروط التالية: الحد الأول ($\ar{4x^2}$) يجب أن يكون مربعًا كاملاً. ما هو جذره؟ (ليكن "$\ar{a}$") الحد الثالث ($\ar{k}$) يجب أن يكون مربعًا كاملاً. ما هو جذره؟ (ليكن "$\ar{b}$") الحد الأوسط ($\ar{28x}$) يجب أن يساوي ضعف حاصل ضرب جذر الحد الأول في جذر الحد الثالث (أي $\ar{2 \times a \times b}$). استخدم هذه الشروط لإيجاد قيمة "$\ar{k}$". طريقة أخرى: الحد الثالث ($\ar{k}$) في المربع الكامل = $\ar{(\frac{\text{معامل الحد الأوسط}}{2 \times \sqrt{\text{معامل الحد الأول}}})^2}$ في هذه الحالة، الحد الأول هو $\ar{4x^2}$، فجذر معامله هو $\ar{\sqrt{4}}$ أي 2. 49 7 14 24 الإجابة الصحيحة: 49 المقدار الجبري المعطى هو: $\ar{4x^2 + 28x + k}$. لكي يكون هذا المقدار مربعًا كاملاً، يجب أن يكون على الصورة $\ar{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$. نقارن المقدار المعطى بالصورة العامة: الحد الأول: $\ar{a^2 = 4x^2}$. بأخذ الجذر التربيعي، نجد أن $\ar{a = 2x}$. الحد الأوسط: $\ar{2ab = 28x}$. الحد الثالث: $\ar{b^2 = k}$. من الحد الأوسط، لدينا $\ar{2ab = 28x}$. نعوض بقيمة $\ar{a = 2x}$ في هذه المعادلة: $\ar{2(2x)b = 28x}$ $\ar{4xb = 28x}$ لإيجاد قيمة "$\ar{b}$"، نقسم الطرفين على $\ar{4x}$ (بافتراض $\ar{x \neq 0}$): $\ar{b = \frac{28x}{4x}}$ $\ar{b = 7}$ الآن، بما أن الحد الثالث هو $\ar{b^2 = k}$، وقيمة $\ar{b}$ هي 7، فإن: $\ar{k = b^2 = 7^2 = 49}$. إذن، عندما $\ar{k = 49}$، يصبح المقدار $\ar{4x^2 + 28x + 49}$، وهو مربع كامل لتحليل $\ar{(2x + 7)^2}$. هذا يتطابق مع الخيار الأول. لماذا الخيارات الأخرى خاطئة: 7: لو $\ar{k = 7}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{7}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$). 14: لو $\ar{k = 14}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{14}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{14} = 4\sqrt{14}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$). 24: لو $\ar{k = 24}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{24}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{24} = 4\sqrt{24}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$). للتفكير: إذا كان المقدار هو $\ar{x^2 + kx + 36}$ مربعًا كاملاً، فما هي القيمة الممكنة لـ "$\ar{k}$"؟ (انتبه، قد تكون هناك قيمتان لـ "$\ar{k}$"). (الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-2 إيجاد مفكوك المربعات الكاملة، صفحة 15. الفكرة معكوسة هنا، حيث يُعطى جزء من المربع الكامل والمطلوب إيجاد الحد الناقص ليصبح مربعاً كاملاً.)
2- إذا كان $\ar{l^2 + 9m^2 = 123}$ ، $\ar{lm = 7}$فإن $\ar{l - 3m = \dots\dots}$ شرح السؤال المطلوب هو إيجاد قيمة $\ar{l - 3m}$. لاحظ أننا لا نستطيع إيجاد قيمة $\ar{l - 3m}$ مباشرة من المعطيات بسهولة. ولكن، فكر في حساب $\ar{(l - 3m)^2}$ أولاً، كما فعلنا في المحاولة السابقة. لقد وجدنا أن $\ar{(l - 3m)^2 = 81}$. إذا كان $\ar{(l - 3m)^2 = 81}$، فما هي القيم الممكنة لـ $\ar{(l - 3m)}$؟ تذكر أن تأخذ الجذر التربيعي للطرفين. انظر إلى الخيارات المتاحة واختر القيمة التي تناسب. (عادةً في مثل هذه الأسئلة، إذا لم تحدد الإشارة، فإننا نأخذ القيمة الموجبة للجذر إذا كانت الخيارات موجبة). 3 6 81 9 الإجابة الصحيحة: 9 المعطيات في السؤال هي: 1) $\ar{l^2 + 9m^2 = 123}$ 2) $\ar{lm = 7}$ المطلوب هو إيجاد قيمة $\ar{l - 3m}$. الخطوة 1: حساب قيمة $\ar{(l - 3m)^2}$. نبدأ بفك $\ar{(l - 3m)^2}$: $\ar{(l - 3m)^2 = l^2 - 2(l)(3m) + (3m)^2}$ $\ar{(l - 3m)^2 = l^2 - 6lm + 9m^2}$ بإعادة ترتيب الحدود: $\ar{(l - 3m)^2 = (l^2 + 9m^2) - 6lm}$ بالتعويض بالقيم المعطاة ($\ar{l^2 + 9m^2 = 123}$ و $\ar{lm = 7}$): $\ar{(l - 3m)^2 = 123 - 6(7)}$ $\ar{(l - 3m)^2 = 123 - 42}$ $\ar{(l - 3m)^2 = 81}$ الخطوة 2: إيجاد قيمة $\ar{l - 3m}$. بما أن $\ar{(l - 3m)^2 = 81}$، فإننا نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد قيمة $\ar{l - 3m}$: $\ar{l - 3m = \pm \sqrt{81}}$ $\ar{l - 3m = \pm 9}$ إذن، القيم الممكنة لـ $\ar{(l - 3m)}$ هي 9 أو -9. بالنظر إلى الخيارات المتاحة (3، 6، 81، 9)، نجد أن القيمة 9 موجودة كخيار. هذا يتطابق مع الخيار (د). لماذا الخيارات الأخرى خاطئة: 3، 6: هذه القيم ليست الجذر التربيعي لـ 81. 81: هذه قيمة $\ar{(l - 3m)^2}$، وليست قيمة $\ar{l - 3m}$. للتفكير: هل يمكننا تحديد ما إذا كانت قيمة $\ar{l - 3m}$ هي 9 أو -9 بشكل قاطع من المعطيات؟ (لا، ليس من المعطيات الحالية وحدها، ولكن الخيارات المتاحة توجهنا نحو القيمة الموجبة). (الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، هذا السؤال يتطلب أولاً حساب مربع المقدار المطلوب ثم أخذ الجذر التربيعي.)
3- حوض سباحة على شكل مربع طول ضلعه ($\ar{x}$) متر، يحيط به رصيف منتظم عرضه ($\ar{y}$) متر، مساحة الرصيف بدلالة $\ar{x}$، $\ar{y} = \ar{\dots\dots}$. شرح السؤال مساحة الرصيف = مساحة المربع الكبير (الحوض مع الرصيف) - مساحة المربع الصغير (الحوض). $\ar{2y(y + x)}$ $\ar{4y(y + x)}$ $\ar{y(2x + y)}$ $\ar{(y - x)(y + x)}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{4y(y+x)}$). طول ضلع المربع الكبير (الحوض + الرصيف من الجهتين) = $\ar{x + 2y}$. مساحة المربع الكبير = $\ar{(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2}$. مساحة الحوض (المربع الصغير) = $\ar{x^2}$. مساحة الرصيف = مساحة المربع الكبير - مساحة الحوض. = $\ar{(x^2 + 4xy + 4y^2) - x^2 = 4xy + 4y^2}$. بأخذ $\ar{4y}$ عامل مشترك: $\ar{4y(x + y)}$. (الفصل الأول: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-2: الفرق بين المربعات الكاملة (تطبيق)، أو الدرس 1-1: إيجاد المفكوك، صفحة 18 أو 10)
4- إذا كان: $\ar{x^2 - y^2 = 104}$، $\ar{x + y = 26}$ فإن قيمة : $\ar{x^2 - 2xy + y^2 = \dots\dots}$ شرح السؤال استخدم متطابقة الفرق بين مربعين لإيجاد $\ar{(x - y)}$. ثم لاحظ أن المقدار المطلوب هو مفكوك $\ar{(x - y)^2}$. 2 4 8 16 الإجابة الصحيحة (16).$\ar{x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \implies 104 = (x - y)(26) \implies x - y = \frac{104}{26} = 4}$.$\ar{x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = 4^2 = 16}$.(الفصل الأول: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-2: الفرق بين المربعات الكاملة، صفحة 18، والدرس 1-1-2: إيجاد مفكوك المربعات الكاملة، صفحة 15)
