1. متى يمكن ضرب مصفوفتين؟ (الشرط) 🤝
على عكس جمع وطرح المصفوفات الذي يتطلب تطابق الرتبة، فإن لضرب مصفوفتين شرطاً مختلفاً وأكثر تحديداً. لكي نتمكن من إيجاد حاصل الضرب $\ar{a \times b}$ (أو $\ar{ab}$) للمصفوفتين $\ar{a}$ و $\ar{b}$ بهذا الترتيب، يجب أن يتحقق شرط أساسي:
الشرط: عدد أعمدة المصفوفة الأولى ($\ar{a}$) يجب أن يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية ($\ar{b}$).
لماذا هذا الشرط؟ كما سنرى لاحقاً، عملية الضرب تعتمد على ضرب عناصر صف من المصفوفة الأولى في عناصر عمود من المصفوفة الثانية. لكي تتم هذه العملية، يجب أن يكون عدد العناصر في الصف (وهو نفسه عدد أعمدة المصفوفة الأولى) مساوياً لعدد العناصر في العمود (وهو نفسه عدد صفوف المصفوفة الثانية).
توضيح بالرتب:
إذا كانت المصفوفة $\ar{a}$ من الرتبة $\ar{m \times l}$ ($\ar{m}$ صفاً، $\ar{l}$ عموداً).
وإذا كانت المصفوفة $\ar{b}$ من الرتبة $\ar{k \times n}$ ($\ar{k}$ صفاً، $\ar{n}$ عموداً).
فإن حاصل الضرب $\ar{ab}$ يكون معرّفاً (ممكناً) فقط إذا كان $\ar{l = k}$.
(للاطلاع على أمثلة توضيحية لشرط الضرب، راجع الأمثلة (i) و (ii) و (iii) في الكتاب المدرسي، ص 23).
2. رتبة مصفوفة الناتج 📏
إذا تحقق شرط الضرب، فما هي رتبة المصفوفة الناتجة (لنسمها $\ar{c = ab}$)؟
القاعدة: رتبة مصفوفة الناتج $\ar{c}$ تكون (عدد صفوف المصفوفة الأولى) × (عدد أعمدة المصفوفة الثانية).
توضيح بالرتب:
إذا كانت $\ar{a}$ من الرتبة $\ar{m \times l}$.
وكانت $\ar{b}$ من الرتبة $\ar{l \times n}$ (لاحظ تحقق الشرط $\ar{l=l}$).
فإن مصفوفة الناتج $\ar{c = ab}$ ستكون من الرتبة $\ar{m \times n}$.
(للاطلاع على أمثلة توضيحية لرتبة الناتج، راجع الأمثلة (i) و (ii) في الكتاب المدرسي، ص 23).
3. كيفية حساب عناصر مصفوفة الناتج 🧮
عرفنا متى يمكن الضرب وما هي رتبة الناتج، والآن كيف نحسب قيمة كل عنصر في مصفوفة الناتج $\ar{c = [c_{rd}]}$؟
القاعدة: العنصر $\ar{c_{rd}}$ (الواقع في الصف $\ar{r}$ والعمود $\ar{d}$ من مصفوفة الناتج $\ar{c}$) يُحسب عن طريق "ضرب الصف في العمود":
- خذ الصف $\ar{r}$ من المصفوفة الأولى $\ar{a}$.
- خذ العمود $\ar{d}$ من المصفوفة الثانية $\ar{b}$.
- اضرب كل عنصر من الصف $\ar{r}$ في العنصر المقابل له في الترتيب في العمود $\ar{d}$.
- اجمع نواتج الضرب هذه.
بالرموز: إذا كانت $\ar{a = [a_{rk}]}$ و $\ar{b = [b_{kd}]}$، فإن العنصر $\ar{c_{rd}}$ في الناتج $\ar{c = ab}$ هو:
$\ar{c_{rd} = (a_{r1} \times b_{1d}) + (a_{r2} \times b_{2d}) + ... + (a_{rl} \times b_{ld})}$
أو باختصار باستخدام رمز المجموع: $\ar{c_{rd} = \sum_{k=1}^{l} a_{rk} \times b_{kd}}$
(للاطلاع على توضيح تفصيلي وتطبيق لهذه القاعدة خطوة بخطوة، راجع الأمثلة 13، 14، 15 في الكتاب المدرسي، ص 24 و 25).
4. ملاحظات هامة حول ضرب المصفوفات ⚠️
ليست إبدالية: بشكل عام، عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية، أي أن $\ar{ab \neq ba}$ حتى لو كان كلا الضربين معرفاً. ترتيب الضرب مهم جداً!
لماذا؟ لأننا نضرب صفوف الأولى في أعمدة الثانية. عند عكس الترتيب ($\ar{ba}$)، سنضرب صفوف $\ar{b}$ في أعمدة $\ar{a}$، وهي عملية مختلفة تماماً وقد تؤدي إلى ناتج مختلف أو قد لا تكون معرفة أصلاً.
حاصل الضرب الصفري: من الممكن أن يكون $\ar{ab = 0}$ (المصفوفة الصفرية) حتى لو كانت $\ar{a \neq 0}$ و $\ar{b \neq 0}$. وهذا يختلف عن خصائص ضرب الأعداد الحقيقية.
لماذا؟ لأن عملية الضرب والجمع المتضمنة في حساب عناصر الناتج قد تؤدي إلى إلغاء بعضها البعض لينتج صفر في جميع المواقع.
قوى المصفوفات: يمكن حساب قوى المصفوفات المربعة فقط، بتكرار الضرب: $\ar{a^2 = a \times a}$، $\ar{a^3 = a \times a \times a}$، وهكذا.