1. محورة المصفوفة (Transpose of a Matrix) 🔄
ببساطة، هي عملية إعادة ترتيب لعناصر المصفوفة بحيث تتحول الصفوف إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف. تخيل أنك تدير المصفوفة حول قطرها الرئيسي.
الرمز: نرمز لمحورة المصفوفة $\ar{f}$ بالرمز $\ar{f'}$ (أو $\ar{f^t}$ في بعض المراجع).
القاعدة:
إذا كانت المصفوفة $\ar{f}$ من الرتبة $\ar{m \times n}$ ($\ar{m}$ صفاً، $\ar{n}$ عموداً).
فإن محورتها $\ar{f'}$ تكون من الرتبة $\ar{n \times m}$.
العنصر $\ar{a_{rd}}$ في المصفوفة $\ar{f}$ (في الصف $\ar{r}$ والعمود $\ar{d}$) يصبح هو العنصر $\ar{a_{dr}}$ في المصفوفة $\ar{f'}$ (في الصف $\ar{d}$ والعمود $\ar{r}$).
مثال توضيحي:
إذا كانت $\ar{f = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ (رتبة $\ar{2 \times 3}$)
فإن $\ar{f' = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}}$ (رتبة $\ar{3 \times 2}$)
لاحظ كيف أصبح الصف الأول $\ar{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}}$ هو العمود الأول في $\ar{f'}$، والصف الثاني $\ar{\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ هو العمود الثاني في $\ar{f'}$.
خواص هامة للمحورة:
- $\ar{(f')' = f}$ (محورة المحورة تعيد المصفوفة الأصلية).
- $\ar{(a + b)' = a' + b'}$ (محورة المجموع = مجموع المحورتين).
- $\ar{(ab)' = b'a'}$ (محورة حاصل الضرب = حاصل ضرب المحورتين بترتيب معكوس). هذه الخاصية مهمة جداً وتحتاج لانتباه.
(للاطلاع على مثال لحل معادلة مصفوفية باستخدام المحورة، راجع المثال 16 في الكتاب المدرسي، ص 29).
2. المصفوفات المثلثية (Triangular Matrices) 🔺
هذه مصفوفات مربعة تتميز بوجود كتلة من الأصفار في أحد جانبي القطر الرئيسي. تعتبر مهمة لأنها تبسط الكثير من العمليات الحسابية.
أ) المصفوفة المثلثية العلوية (Upper Triangular):
هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر أسفل القطر الرئيسي أصفاراً.
الشرط: $\ar{a_{rd} = 0}$ لكل $\ar{r > d}$ (أي عندما يكون رقم الصف أكبر من رقم العمود).
مثال: $\ar{\begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}}$
ب) المصفوفة المثلثية السفلية (Lower Triangular):
هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر فوق القطر الرئيسي أصفاراً.
الشرط: $\ar{a_{rd} = 0}$ لكل $\ar{r < d}$ (أي عندما يكون رقم الصف أصغر من رقم العمود).
مثال: $\ar{\begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 0 \\ 4 & 2 & -5 \end{bmatrix}}$
خاصية هامة: قيمة محدد المصفوفة المثلثية (العلوية أو السفلية) تساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.
(للاطلاع على أمثلة لهذه المصفوفات، راجع الكتاب المدرسي، ص 30).
3. المصفوفة المتماثلة (Symmetric Matrix) 🪞
هي مصفوفة مربعة لا تتغير عند إجراء عملية المحورة عليها. أي أنها متماثلة (مثل الانعكاس في المرآة) حول قطرها الرئيسي.
الشرط: يجب أن تساوي المصفوفة محورتها: $\ar{f = f'}$.
شرط العناصر: العنصر في الصف $\ar{r}$ والعمود $\ar{d}$ يساوي العنصر في الصف $\ar{d}$ والعمود $\ar{r}$. أي $\ar{a_{rd} = a_{dr}}$.
مثال: $\ar{\begin{bmatrix} 9 & 4 & 8 \\ 4 & 2 & 5 \\ 8 & 5 & -9 \end{bmatrix}}$ (لاحظ التماثل حول القطر الرئيسي).
(للاطلاع على أمثلة لإيجاد مجاهيل تجعل مصفوفة متماثلة، راجع المثالين 17 و 18 في الكتاب المدرسي، ص 30 و 31).
4. المصفوفة الملتوية التماثل (Skew-Symmetric Matrix) 🌀
هي مصفوفة مربعة تحقق شرطين مميزين جداً:
- جميع عناصر القطر الرئيسي يجب أن تكون أصفاراً ($\ar{a_{rr} = 0}$).
- العناصر المتقابلة حول القطر الرئيسي متساوية في القيمة المطلقة ولكن متعاكسة في الإشارة.
الشرط: يجب أن تساوي المصفوفة سالب محورتها: $\ar{f = -f'}$.
مثال: $\ar{\begin{bmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & 4 \\ 2 & -4 & 0 \end{bmatrix}}$
(للاطلاع على مثال لإيجاد مجاهيل تجعل مصفوفة ملتوية التماثل، راجع المثال 19 في الكتاب المدرسي، ص 31).
5. تحليل المصفوفة المربعة 🧩
أي مصفوفة مربعة $\ar{a}$ يمكن التعبير عنها بشكل فريد كـ مجموع مصفوفة متماثلة ومصفوفة ملتوية التماثل.
- الجزء المتماثل ($\ar{s}$): $\ar{s = \frac{1}{2}(a + a')}$
- الجزء الملتوي التماثل ($\ar{y}$): $\ar{y = \frac{1}{2}(a - a')}$
- إعادة التركيب: $\ar{a = s + y}$
(للاطلاع على مثال تطبيقي لكيفية تحليل مصفوفة، راجع المثال 20 في الكتاب المدرسي، ص 32).