في الدرس السابق، تعلمنا "لغة" الأسس (ماذا تعني $\ar{a^n}$). الآن، سنتعلم "قواعد النحو" لهذه اللغة. هذه القواعد هي "اختصارات" قوية تتيح لنا تبسيط العمليات الحسابية المعقدة التي تتضمن الضرب والقسمة، وهي حجر الأساس للرياضيات والعلوم المتقدمة.
سنركز على خمسة قوانين رئيسية وقاعدة هامة للأس الصفري.
📜 1. القانون الأول: ضرب القوى ذات الأساس المشترك
$\ar{a^m \times a^n = a^{m+n}}$
المعنى: عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نقوم ببساطة بـ جمع الأسس.
للتوضيح اللفظي (لماذا نجمع؟): تخيل أن $\ar{a^m}$ هي "مجموعة من $\ar{m}$ عامل" وأن $\ar{a^n}$ هي "مجموعة من $\ar{n}$ عامل". عندما نضربهما معاً، فنحن ببساطة "نضم" المجموعتين معاً في سلسلة ضرب واحدة. يصبح العدد الإجمالي للعوامل هو $\ar{m + n}$.
مثال: $\ar{2^4 \times 2^2 = 2^{4+2} = 2^6}$
📜 2. القانون الثاني: قسمة القوى ذات الأساس المشترك
$\ar{\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ (بشرط أن $\ar{a \neq 0}$)
المعنى: عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، نقوم بـ طرح أس المقام من أس البسط.
للتوضيح اللفظي (لماذا نطرح؟): تخيل العملية ككسر. البسط يحتوي على $\ar{m}$ من العوامل. المقام يحتوي على $\ar{n}$ من العوامل. كل عامل $\ar{a}$ في المقام سيختصر مع عامل $\ar{a}$ واحد من البسط. إذن، عدد العوامل المتبقية في البسط هو $\ar{m - n}$.
مثال: $\ar{\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2}$
📜 3. قاعدة الأس الصفري
$\ar{a^0 = 1}$ (بشرط أن $\ar{a \neq 0}$)
المعنى: أي عدد (غير الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي 1.
للتوضيح اللفظي (لماذا؟): هذا القانون هو نتيجة مباشرة للقانون الثاني. فكر في $\ar{\frac{a^n}{a^n}}$.
باستخدام قانون القسمة: $\ar{\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0}$. وبديهياً، أي كمية مقسومة على نفسها تساوي 1.
إذن $\ar{a^0 = 1}$.
📜 4. القانون الثالث: قوة القوة
$\ar{(a^m)^n = a^{m \times n}}$
المعنى: عند رفع قوة (أساس مرفوع لأس) إلى قوة جديدة، نقوم بـ ضرب الأسس.
للتوضيح اللفظي (لماذا نضرب؟): العبارة $\ar{(a^m)^n}$ تعني أننا نكرر الأساس ($\ar{a^m}$) عدد $\ar{n}$ من المرات. والجمع المتكرر ($\ar{m + m + \dots + m}$) هو ببساطة عملية ضرب ($\ar{m \times n}$).
مثال: $\ar{(2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}}$
📜 5. القانون الرابع: قوة حاصل الضرب
$\ar{(ab)^n = a^n \times b^n}$
المعنى: الأس يتوزع على عملية الضرب.
للتوضيح اللفظي (لماذا نوزع؟): العبارة $\ar{(a \times b)^n}$ تعني $\ar{(a \times b) \times (a \times b) \dots}$ مكررة $\ar{n}$ مرة. بما أن الضرب تبديلي، يمكننا تجميع كل $\ar{a}$ معاً وكل $\ar{b}$ معاً، لنحصل على $\ar{(a \times \dots \times a) \times (b \times \dots \times b)}$، وهو ما يساوي $\ar{a^n \times b^n}$.
مثال: $\ar{(2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3}$
📜 6. القانون الخامس: قوة حاصل القسمة
$\ar{(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}}$ (بشرط أن $\ar{b \neq 0}$)
المعنى: الأس يتوزع على عملية القسمة.
مثال: $\ar{(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2}}$